Глухов М. M., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник В 2-х томах. Том 1.— М., 2003.— 336с.
Учебник содержит полное и систематическое изложение материала, входящего в федеральный компонент дисциплины «Алгебра» Государственных образовательных стандартов по специальностям «Криптография» и «Компьютерная безопасность». В отличие от традиционных курсов высшей алгебры, изучаемых на математических факультетах университетов, данный курс характеризуется углубленным изучением дискретных алгебраических объектов: конечных колец, полей, линейных пространств, полугрупп преобразований, групп подстановок.
Том I содержит основные понятия и теоремы современной алгебры в объеме годового курса высшей алгебры для студентов математических специальностей университетов, а именно: введение в алгебру, элементы комбинаторики, основные алгебраические структуры, числовые кольца и поля, кольца и поля классов вычетов, кольца матриц, матрицы над полем, системы линейных уравнений, многочлены, группоиды и полугруппы, основы теории групп, конечные абелевы группы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................................................3
Глава I Введение..............................................................................5
§ 1. Предмет алгебры............................................................5
§ 2. Первоначальные понятия и обозначения из теории
множеств и математической логики..............................9
§3. О математических утверждениях и методах
их доказательства..........................................................20
Задачи..................................................................................26
Глава II. Элементы комбинаторики............................................29
§ 1. Отношения на множествах. Отношения эквивалентности и частичного порядка.................................29
§ 2. Сочетания, размещения и перестановки элементов конечного множества.............................................32
§ 3. Перестановки и их классификация.............................36
Задачи..................................................................................40
Глава III. Основные алгебраические структуры......................41
§ 1. Бинарные операции и их свойства..............................41
§ 2. Алгебраические структуры с одной бинарной операцией ............................................................................44
§ 3. Кольца и поля...............................................................51
§ 4. Изоморфизм множеств с операциями.........................57
Задачи..................................................................................62
Глава IV. Числовые кольца и поля..............................................65
§ 1. Отношение делимости в кольце Z. Деление целых
чисел с остатком...........................................................65
§ 2. Наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное целых чисел.........................................67
§ 3. Простые числа. Основная теорема арифметики........74
§ 4. Числовые поля. Поле комплексных чисел..................78
Задачи..................................................................................87
Глава V. Кольца и поля вычетов..................................................89
§ 1. Сравнения целых чисел по модулю............................89
§ 3. Решение сравнений......................................................96
Задачи................................................................................101
Глава VI. Кольца матриц............................................................102
§ 1. Матрицы над кольцом и операции над ними...........102
§ 2. Определители матриц над коммутативным кольцом с единицей...........................................................108
§ 3. Подматрицы матриц. Миноры и их алгебраические дополнения...........................................................117
§ 4. Обратимые матрицы. Критерий обратимости..........123
§ 5. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы........................................................124
§ 6. Канонические матрицы над кольцом Z....................128
Задачи................................................................................134
Глава VII Матрицы над полем..................................................137
§ 1. Ранг матрицы..............................................................138
§ 2. Каноническая форма матрицы..................................141
§ 3. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг
системы векторов........................................................143
§ 4. Подпространства арифметических пространств.....152
Задачи................................................................................154
Глава VIII Системы линейных уравнений.............................156
§ 1. Системы линейных уравнений над коммутативным кольцом с единицей. Равносильность систем уравнений. Теорема Крамера..............................156
§ 2. Системы линейных уравнений над полем................160
§ 3. Система линейных однородных уравнений.............163
Задачи................................................................................167
Глава IX. Многочлены.................................................................169
§ 1. Кольцо многочленов над кольцом с единицей.........170
§ 2. Делимость многочленов. Теорема о делении
с остатком....................................................................175
§ 3. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.
Многочлен как функция.............................................179
§ 4. Кольцо многочленов над полем. Наибольший
общий делитель и наименьшее общее кратное........181
§ 5. Неприводимые многочлены над полем.
Каноническое разложение многочлена........................
§ 6. Корни многочленов над полем. Производная..........191
§ 7. Многочлены над числовыми полями...........................
§ 8. Кольцо многочленов от нескольких переменных.... 200
§ 9. Инвариантные подкольца. Симметрические
многочлены.................................................................209
Задачи................................................................................214
Глава X. Группоиды и полугруппы...........................................218
§ 1. Подгруппоиды и подполугруппы..............................218
§ 2. Гомоморфизмы группоидов.......................................221
§ 3. Конгруэнции на группоидах и фактор-
группоиды ...................................................................224
§ 4. Полугруппы преобразований....................................230
§ 5. Полугруппы бинарных отношений...........................233
Задачи................................................................................236
Глава XI. Основы теории групп.................................................239
§ 1. Определяющие свойства групп.................................239
§ 2. Порядки элементов и экспонента группы................241
§ 3. Подгруппы. Подгруппа, порожденная подмножеством .......................................................................244
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Подгруппы
циклической группы...................................................249
§ 5. Произведения групп и подгрупп. Разложение
группы.........................................................................252
§ 6. Классы сопряженных элементов. Нормализаторы. Центр р-группы....................................................260
§ 7. Группы подстановок. Орбиты и стабилизаторы.
Лемма Бернсайда........................................................262
§ 8. Цикловая структура и четность подстановки.
Знакопеременная группа............................................269
§ 9. Системы образующих симметрической и знакопеременной групп...........................................................277
§ 10. Сопряженные элементы в симметрической
группе. Уравнение Коши............................................280
§ 11. Гомоморфизмы групп и нормальные делители......284
§ 12. Теоремы об изоморфизме........................................291
§ 13. Простые группы.......................................................293
§ 14. Силовские подгруппы..............................................296
Задачи................................................................................300
Глава ХII. Конечные абелевы группы......................................307
§ 1. Каноническое разложение конечной абелевой
группы.........................................................................307
§ 2. Тип конечной абелевой группы.................................309
§ 3. Перечисление конечных абелевых групп.................312
§ 4. Характеры конечных абелевых групп.......................314
§ 5. Характеры конечных полей и суммы Гаусса............318
Задачи................................................................................321
Указатель имен...............................................................................322
Предметный указатель...................................................................323
Литература учебная........................................................................330
Литература научная........................................................................331
