Гончаров В.Л. Теория функции комплексного переменного (учебное пособие для педагогических институтов). М., - 1955. -353 с.
В книге дается сжатое изложение элементов теории аналитических функций. Она может быть полезной для студентов физико-математических факультетов факультетов, а также для лиц, которые, не будучи специалистами по теории функций, интересуются этим разделом математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Комплексные числа
§ 1. Множество комплексных чисел . ........ . . 3
§ 2. Четыре основных действия с комплексными числами 7
§ 3. Сопряженные числа..................................14
§ 4. Тригонометрическая запись комплексного числа. Модуль и аргумент.................15
§ 5. Геометрическое истолкование действий над комплексными числами...................17
§ 6. Свойства модуля и аргумента.........................19
Глава II. Функции. Пределы. Ряды
§ 7. Понятие функции. Отображение плоскости на плоскость ..................25
§ 8. Предел последовательности чисел ..................30
§ 9. Предел функции. Непрерывность....................39
§ 10. Числовые ряды ... ..........45
§ 11. Геометрическая прогрессия и связанные с нею ряды 50
Глава III. Целые и дробные рациональные функции
§ 12. Понятие многочлена................................55
§ 13. Свойства многочленов. Основная теорема алгебры . 57
§ 14. Понятие рациональной функции................64
§ 15. Свойства рациональных функций. Разложение на элементарные дроби.....66
§ 16. Разложение рациональной функции по степеням z-z0 72
Глава IV. Элементарные трансцендентные функции
§ 17. Показательная функция. Формула Эйлера . . . . . 85
§ 18. Круговые- (тригонометрические) и гиперболические функции............94
§ 19. Примеры применения формулы Эйлера ...... 102
§ 20. Тангенс, круговой и гиперболический.......108
§ 21. Логарифм.....................109
§ 22. Произвольные степени и корни..... ......112
§ 23. Обратные круговые и гиперболические функции ...... 115
Глава V. Производные и интегралы
§ 24. Понятие о производной от функции комплексного переменного.........120
§ 25. Производные от элементарных функций.......126
§ 26. Условия Коши-Римана...............131
§ 27. Основная лемма интегрального исчисления ...... 135
§ 28. Первообразная функция............. . 136
29. Понятие о комплексном интеграле........ . 141
§ 30. Свойства комплексных интегралов.........149
§ 31. Определенный интеграл как приращение первообразной функции..............154
§ 32. Условия независимости комплексного интеграла от пути интегрирования.....157
§ 33. Интегралы по замкнутому контуру.........161
§ 34. Определение логарифма через интеграл......165
§ 35. Интегрирование рациональных функций.......169
Глава VI. Последовательности и ряды функций
§ 36. Общие соображения по поводу равномерной сходимости ..........173
§ 37. Степенные ряды и их свойства...........181
§ 38. Ряд Тэйлора....................195
§ 39. Техника действий со степенными рядами......200
§ 40. Ряды (л последовательности) многочленов общего вида, равномерно сходящиеся в данной области .... 209
§ 41. Ряды (и последовательности) дробных рациональных функций......................215
§ 42. Иные ряды и последовательности..........219
Глава VII. Интеграл Коши. Понятие аналитической функции
§ 43. Интегралы, зависящие от параметра.......226
§ 44. Интеграл Коши для случая многочлена......232
§ 45. Условия представимости функции комплексного переменного интегралом Коши............233
§ 46. Разложение функции комплексного переменного в степенной ряд....................236
§ 47 Понятие аналитической (регулярной) функции .... 239
§ 48. Приближение аналитических функций многочленами....244
§ 49. Свойства аналитических функций..........247
§ 50. Теорема Вейерштрасса о пределе последовательности аналитических функций.........252
§ 51. Аналитическое продолжение..... .......256
§ 52. Римановы поверхности ....................267
§ 53. Аналитические функции и аналитические выражения.....274
Глава VIII. Особенные точки. Применение ТФКП к алгебре и анализу
§ 54. Целые функции и их поведение на бесконечности . . .277
§ 55. Изолированные особенные точки однозначных функций. Полюсы и существенные особенности.....281
§ 56. Разложение Лорана в окрестности изолированной особенной точки ..................286
§ 57. Теорема Коши о вычетах..... ........290
§ 58. Интеграл от логарифмической производной по замкнутому контуру. Число нулей многочлена внутри данной кривой. Основная теорема алгебры.......294
§ 59. Теорема Гаусса-Люка...............297
§ 60. Примеры вычисления определенных интегралов с помощью вычетов..................299
Глава IX. Конформное отображение. Применения ТФКП к вопросам физического содержания. Гидродинамическая интерпретация функций комплексного переменного
§ 61. Свойство конформности ..............306
§ 62. Картографическая задача: конформное отображение сферы на плоскость................313
§ 63. Геометрический смысл производной........315
§ 64. Чертежной воспроизведение конформного отображения ......................318
§ 65. Понятие об основной теореме Римана по поводу конформного отображения...........322
§ 66. Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Их применение .................... 323
§ 67. Некоторые Свойства линий постоянного модуля и линий постояннго аргумента.............330
§ 68. Гидродинам&еские представления, связанные с функциями комплексного переменного..........333
