Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика

Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. - Пер. с нем. - М., 1969. - 448 с.
Книга посвяшена применениям функционально-аналитических методов к задачам вычислительной математики, в том числе к анализу погрешностей различных приближенных методов. Исследуются разностные методы решения дифференциальных уравнений эллиптического типа, в частности метод переменных направлений. В книге содержатся все необходимые сведения из теории нормированных, метрических и гильбертовых пространств и из других разделов функционального анализа, что позволяет использовать ее независимо от других источников.
Книга представляет интерес не только для математиков, но и для научных работников других специальностей и инженеров, имеющих дело с методами вычислительной математики. Она доступна аспирантам и студентам соответствующих специальностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию...............
ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ . .
§ 1. Основные типы задач вычислительной математики . .
1.1. Некоторые общие понятия ............
1.2. Решение уравнений...............
1.3. Исследование свойств решения уравнения......IS
1.4 Экстремальные задачи с дополнительными условиями или без них...........................19
1.5. Задачи на представление (определение коэффициентов) . 22
1.6. Оценка значений ...............25
§ 2. Некоторые типы пространств............26
2.1. Неравенства Гёльдера и Минковского .......26
2.2. Топологическое пространство...........28
2.3. Квазиметрические и метрические пространства .... 31
2.4. Линейные пространства.............37
2.5. Нормированные пространства...........39
2.6. Унитарные пространства и неравенство Шварца .... 43
2.7. Равенство параллелограмма...........45
2.8. Ортогональность в унитарных пространствах, неравенство Бесселя ...................60
§ 3. Упорядочения ..................54
3.1. Частичная и полная упорядоченность........54
3.2. Структуры................56
3.3. Псевдометрические пространства..........58
3.4. Сходимость и полнота.............. . 59
4.1. Сходимость в псевдометрическом пространстве .... 59
4.2. Последовательность, сходящаяся по Коши......62
4.3. Полнота. Гильбертово и банахово пространства 62
4.4. Некоторые теоремы о непрерывности........68
4.5. Простые следствия для гильбертова пространства. Подпространства ....... ........... 69
4.6. Полные ортонормальные системы в гильбертовых пространствах .................72
4.7. Примеры...................75
4.8. Слабая сходимость...............80
§ 5. Компактность ..................82
5.1. Компактность и компактность в себе........82
5.2. Примеры компактных и некомпактных множеств ........ 83
5.3. Теорема Арцела ..... ... ...... 85
5.4. Компактные в себе множества функций, порожденные интегральным оператором............88
§ 6. Операторы в псевдометрическом и других пространствах . . 91
6.1. Линейные и ограниченные операторы 91
6.2. Действия над операторами...........93
6.3. Обратный оператор..............95
6.4. Примеры операторов..............98
6.5. Ограниченные обратные операторы........102
6.6. Обусловленность линейного ограниченного оператора . . 104
6.7. Оценка погрешности итерационного метода .... 105
6.8. Теорема Рисса и теорема о выборе .........106
6.9. Теорема Банаха о последовательности операторов ..... 108
6.10. Применение квадратурных формул ........110
§ 7. Операторы в гильбертовых пространствах.......112
7.1. Сопряженный оператор ............112
7.2. Примеры ..................116
7.3. Дифференциальные операторы для функций одного переменного ................. 120
7.4. Дифференциальные операторы от функций многих переменных ...................122
7.5. Вполне непрерывные операторы..... .... 126
7.6. Вполне непрерывный интегральный оператор.....129
7.7. Оценка остаточного члена для голоморфной функции 131
7.8. Оценка погрешности квадратуры, в которой не участвуют производные ................132
7.9. Основной принцип вариационного исчисления.....135
§ 8. Задачи о собственных значениях .......137
8.1. Общие задачи о собственных значениях.......137
8.2. Спектр оператора в метрическом пространстве .... 1^2
8.3. Оценка собственных значений...............143
8.4. Проекторы..................146
8.5. Экстремальные свойства собственных значений . . . .150
8.6. Два принципа минимума для дифференциальных уравнений .....................155
8.7. Метод Ритца.................158
§ 9. Нормы векторов и матриц.......... . 16З
9.1. Нормы векторов................163
9.2. Сравнение различных норм векторов........164
9.3. Нормы матриц................166
9.4. Некоторые сведения из теории матриц.......168
9.5. Евклидова норма вектора и согласованная с ней норма матрицы...................170
9.6. Другие нормы вектора и подчиненные им нормы матрицы 173
9.7. Преобразованные нормы............. 175
§ 10. Дальнейшие теоремы о нормах векторов и матриц .... 176
10.1. Двойственная норма вектора...........176
10.2. Определение некоторых двойственных норм.....178
10.3. Степени матриц................179
10.4. Свойство минимальности спектральной нормы .... 180
10.5. Отклонение матрицы от нормальности.......181
10.6. Спектральная вариация одной матрицы относительно другой ...................185
10.7. Задачи к главе I...............188
10.8. Указания к задачам..............191
ГЛАВА II. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ...................195
§ 11. Теорема о неподвижной точке для общего итерационного метода в псевдометрических пространствах........195
11.1. Итерационный метод и простые примеры ...... 195
11.2 Итерационные методы решения дифференциальных уравнений ....................197
11.3. Общая теорема о неподвижной точке.......200
11.4. Доказательство общей теоремы о неподвижной точке . 202 11.5. Теорема единственности....................204
§ 12. Частные случаи теоремы о неподвижной точке и модификация оператора....................205
12.1. Случай линейного вспомогательного оператора Р . ...... 205
12.2. Случай метрического пространства с числовым множителем в качестве Р.............206
12.3. Случай метрического пространства с нелинейной действительной функцией в качестве Р........208
12.4. Выполнение итераций с модифицированным оператором и вопросы точности..............210
12.5. Оценка погрешности модифнцироваииого итерационного процесса .................213
§ 13. Итерационные методы для систем уравнений......214
13.1. Одно уравнение................ 214
13.2. Различные итерационные методы для систем уравнений 216
13.3. Некоторые признаки сходимости для систем линейных уравнений .................218
13.4. Признаки сумм по строкам и столбцам......220
§ 14. Системы уравнений н разностные методы ........224
14.1. Разностный метод для эллиптических дифференциальных уравнений.................. 224
14.2. Оценка погрешности итераций по совокупности координат и по отдельным координатам........226
14.3. Блочные итерации...............229
14.4. Бесконечные линейные системы уравнений.....231
14.5. Метод верхней релаксации с оценкой погрешности ......... 232
14.6. Выбор множителя в методе верхней релаксации ........ . 236
14.7. Метод альтернирующих направлений ........238
§ 15. Итерационные методы для дифференциальных и интегральных уравнений....................240
15.1. Нелинейные краевые задачи...........240
15.2. Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения 245
15.3. Интегральные уравнения............246
15.4. Системы гиперболических дифференциальных уравнений 249
15.5. Оценка погрешности для гиперболических систем. . . 252
§ 16. Производные операторов в суперметрических пространствах . 255
16.1. Производная Фреше..............255
16.2. Высшие производные.............256
16.3. Цепное правило дифференциального исчисления . . . 258
16.4. Основные примеры образования производных .... 260
16.5. L-метрические пространства .........263
16.6. Теорема о среднем и формула Тейлора.......266
§ 17. Построение итерационных методов .........268
17.1 Обычный и упрощенный методы Ньютона......268
17.2. Оценка погрешности упрощенного метода Ньютона . . 271
17.3 Упрощенный метод Ньютона для нелинейных краевых задач .............................274.
17.4. Порядок итерационного метода..........275
17.5. Итерационные методы для уравнений с голоморфными функциями, возможно, имеющими кратные нули ....... 277
17.6. Общий итерационный метод n-го порядка для решения операторного уравнения (процесс Шредера, 1865). 279
17.7. Замечание относительно вычислительных затрат при методах высших порядков............ 283
§ 18. Правило ложного положения............284
18.1. Примитивная и нормальная формы правила ложного положения ...................284
18.2 Примитивная форма правила ложного положения для действительной функции одного переменного ........ . 286
18.3. Правило ложного положения для операторных уравнений 288
18.4. Обобщение правила ложного положения......
18.5. Наклон оператора и интерполяционный полином Ньютона 290
18.6. Сходимость метода ложного положения для действительной функции одного переменного.........292
18.7. Общие методы и примеры............297
§ 19. Усиленный метод Ньютона .............299
19.1. Усиленный метод Ньютона и основные оценочные функции ....................299
19.2. Общая теорема о сходимости усиленного метода Ньютона ..................301
19.3. Общие замечания относительно применения метода Ньютона ....................305
19.4. Метод Ньютона для задачи о собственных значениях . 306
19.5. Метод Ньютона для задачи аппроксимации.....310
§ 20. Монотонность и экстремальный принцип для метода Ньютона 314
20.1. Классы задач, выпуклые и вогнутые операторы . . ....... 314
20.2. Монотонность при методе Ньютона........316
20.3. Экстремальные принципы и теорема об ограничениях . 318
20.4. Примеры нелинейных краевых задач ....... 320
20.5. Исследование сходимости............321
20.6. Задачи к главе II ...............323
20.7. Указания к задачам..............324
ГЛАВА III. МОНОТОННОСТЬ, НЕРАВЕНСТВА И ДРУГИЕ ВОПРОСЫ.....329
§ 21. Монотонные операторы...............323
21.1. Определение и примеры.............329
21.2. Монотонные разложимые операторы........331
21.3. Применение теоремы Шаудера о неподвижной точке . . 335
21.4. Применение теоремы Шаудера к нелинейным дифференциальным уравнениям.............337
21.5. Применение к линейной системе уравнений.....339
§ 22. Дальнейшее применение теоремы Шаудера.......341
22.1. Экстраполяция с оценкой погрешности при монотонной последовательности итераций ......... 341
22.2. Применение к линейным системам уравнений ...... . . 344
22.3. Применение к линейным дифференциальным уравнениям ..........347
22.4. Еще одна теорема о монотонности........348
22.5. Применение к нелинейным интегральным уравнениям ........... 349
§ 23. Матрицы монотонного вида и краевые задачи......350
23.1. Матрица монотонного вида...........352
23 2. Операторы монотонного вида в линейных краевых задачах в случае обыкновенного дифференциального уравнения ....................356
23.3. Теорема о максимуме на границе для нелинейного дифференциального уравнения эллиптического типа .......... 358
23.4. Оператор монотонного вида в нелинейных дифференциальных уравнениях эллиптического типа......363
23.5. Частный случай линейного дифференциального уравнения Эллиптического типа............364
§ 24. Задача Коши и другие теоремы о монотонности.....366
24.1. Строгая монотонность для параболических уравнений . 366
24.2. Общая теорема о монотонности .........368
24.3. Нелинейные уравнения гиперболического типа .... 371
24.4. Мажорирование функции Грина и нелинейные краевые задачи ...................376
§ 25. Аппроксимация функций..............381
25.1. Постановка задачи..............381
25.2. Линейная аппроксимация........... . 384
25.3. Множество минимальных решений при рациональной аппроксимации .................385
25.4. Теорема существования рациональной чебышевской аппроксимации .................386
25.5. Общая теорема об оценке минимального отклонения ........... 388
25.6. Система неравенств..............390
25.7. Приложения.................393
25.8. Рациональная Г-аппроксимация и задача о собственных значениях..................400
§ 26. Дискретная чебышевская аппроксимация и метод замены . . 402
26.1. Дискретная Т-аппроксимация..........402
26.2. Базис отсчета и отклонение отсчета........404
26.3. Центр ...................406
26.4. Метод замены................407
26.5. Задачи к главе III..............409
26.6. Указания к задачам..............411
Дополнение к теореме Шаудера о неподвижной точке . ......416
26.7. Вспомогательные теоремы о компактных множествах , .416
26.8. Две формулировки теоремы Шаудера о неподвижной точке....................419
Литература ......................422

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗