Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 160 с.
Книга посвящена основам теории фракталов и состоит из двух частей и приложения. В первой части рассматриваются конструктивные фракталы, во второй - динамические, а в приложении приводится вспомогательный материал. Конструктивные фракталы строятся с помощью достаточно простой рекурсивной процедуры, имеют «тонкую» структуру, т.е. содержат произвольно малые масштабы, и обладают самоподобием. Подобные фрактальные множества слишком нерегулярны, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке. Рассматриваются многочисленные примеры конструктивных фракталов (Кантора, Коха, Минковского, Серпинского, Леви и др.). Проводится их анализ на основе линейных преобразований и вычисления фрактальной размерности. Изложение сопровождается историческими справками.
Вторая часть посвящена фракталам, которые возникают в дискретных нелинейных динамических системах. Это множества, хаусдорфова (или фрактальная) размерность которых больше топологической размерности. К ним относятся одномерные комплексные эндоморфизмы, рассмотренные Жюлиа и Фату в начале 20 века. В книге приводятся основы современной теории подобных эндоморфизмов. Изложение иллюстрируется на примере фракталов Жюлиа, Мандельброта, Ньютона. В книгу включены новые результаты по гиперкомплексной динамике.
В приложении приводится вспомогательный математический материал из теории множеств, обсуждается определение линии, даются основы теории размерности и, прежде всего, хаусдорфовой размерности.
Книга может быть использована как учебное пособие по фракталам и ориентирована прежде всего на студентов физико-математических факультетов университетов. Первая часть доступна школьникам старших классов.
Оглавление
Введение...........................................................................................................7
Часть 1. Конструктивные фракталы........................................................12
Глава 1. Фракталы и системы счисления...........................................14
1. 1. Древовидная структура и системы счисления..............................14
1.1.1. Двоичная система................................................................16
1.1.2. Четверртчная и восьмеричная системы..............................16
1.1.3. Троичная система................................................................16
1.2. Решето Серпинского.......................................................................17
1.3. Фрактал Кантора.............................................................................19
1.3.1. Арифметические свойства фрактала Кантора..................20
Глава 2. Фракталы и меандры..............................................................22
2.1. Эксперимент Ричардсона...............................................................22
2.2. Степень изгибания кривой (первое знакомство с фрактальной размерностью)........................................................................................24
2.3. Кривая Коха.....................................................................................25
2.4. Вариации на тему кривой Коха......................................................28
2.5. Общая схема построения конструктивных фракталов................31
2.5.1. Варианты..............................................................................32
2.6. Семейство драконов........................................................................38
2.6.1. Кривая «Дракона»...............................................................39
Глава 3. Спирали, деревья, звезды.......................................................42
3.1. Спирали............................................................................................42
3.2. Дерево Пифагора.............................................................................45
3.2.1. Склонившееся (спиральное) дерево Пифагора.................47
3.3. Звезды...............................................................................................50
Глава 4. Анализ конструктивных фракталов.....................................54
4.1. Инвариантные преобразования......................................................54
4.2. Поворот............................................................................................56
4.3. Сжатие (растяжение).......................................................................57
4.4. Поворот с растяжением (сжатием)................................................58
4.5. Применение поворота-сжатия.......................................................59
4.6. Отражение........................................................................................66
4.7. Применения сжатия-отражения.....................................................67
Глава 5. Случайность во фракталах.....................................................70
5.1. Броуновская крртвая.........................................................................74
5.2. Квазислучайность в динамике.......................................................74
5.2.1. Модель ограниченного роста популяций..........................75
5.2.2. Определение детерминированного хаоса по Девани.......80
Часть 2. Введение во фрактальную динамику.......................................82
Глава 6. Одномерные комплексные отображения.............................83
6.1. Итерации комплексных функций. Множества Жюлиа и Фату... 83
6.1.1. Основы теории множеств Жюлиа......................................83
6.2. Одномерные комплексные рациональные эндоморфизмы.........95
Глава 7. Фракталы Жюлиа и Мандельброта....................................100
7.1. Фракталы Жюлиа..........................................................................100
7.2. Фрактал Мандельброта.................................................................106
7.3. Фрактал Мандельброта на экране компьютера..........................10
Глава 8. Фракталы Ньютона...............................................................109
Глава 9. Элементы гинеркомнлексной динамики.......................... 112
9.1. Гиперкомплексньте числа и кватернионы.................................112
9.2. Отображение Жюлиа в 3-х мерном гиперпространстве............113
9.2.1. Свойства отображения J3D...............................................115
9.3. Группы симметрий и мозаики в 3-х мерном гиперпространстве........................................................................................................127
9.3.1. Конструирование Г-инвариантных функций..................128
9.3.2. Определение цвета............................................................129
Приложение.................................................................................................131
Глава 10. Краткие сведения из теории множеств.............................131
10.0.1. Мощность множества.....................................................132
10.0.2. Примеры эквивалентных множеств...............................133
10.1. Счетные множества.....................................................................134
10.2. Множества мощности континуума............................................134
10.3. Кольца и алгебры множеств.......................................................135
10.4. Точечные множества в евклидовом пространстве...................136
10.5. Предельные точки.......................................................................137
10.6. Замкнутые и открытые множества............................................138
Глава 11. Что такое линия?..................................................................139
11.1. Первые определения линии. Жордановы кривые. Кривая Пеано..........................................139
11.2. Канторовы кривые. Ковер Серпинского...................................141
11.3. Урысоновское определение линии............................................142
Глава 12. Хаусдорфова мера и размерность......................................143
12.1. Хаусдорфова мера.......................................................................143
12.2. Хаусдорфова размерность..........................................................146
12.2.1. Открытые множества......................................................147
12.2.2. Гладкие множества..........................................................148
12.2.3. Монотонность..................................................................148
12.2.4. Счетная устойчивость.....................................................149
12.2.5. Счетные множества.........................................................149
12.3. Вычисление хаусдорфовой размерности - простые примеры. 151
12.4. О других размерностях...............................................................155
12.4.1. Предельная емкость. Фрактальная размерность...........155
12.4.2. Инвариантная мера..........................................................156
12.4.3. Поточечная размерность.................................................157
Список литературы................................................................................158
