Сандаков Е.Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры

Сандаков Е.Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры: учебное пособие. М.: МИФИ, 2005.- 308 с.
Данное учебное пособие «Основы аналитической геометрии и линейной алгебры» предназначено для студентов МИФИ первого курса всех специальностей.
Оно полностью соответствует программе курса "Аналитическая геометрия и линейная алгебра", предусмотренного для технических и экономических вузов с углубленным изучением высшей математики, такими как МИФИ.
8 данном пособии рассматривается большое число примеров, которые способствуют лучшему усвоению студентами данного материала.
Кроме того, в конце каждой главы приводится список задач для самостоятельного решения, которые помогут читателю проконтролировать свои знания.
В основу данной книги положены пособия [1}- [3] (см, список литературы). Работы рекомендуются для дополнительного чтения по данному курсу.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Векторная алгебра......................................................9
§ 1. Понятие вектора. Операции сложения и умножения векторов на число и их свойства.....9
§ 2. Теоремы разложения. Линейная зависимость и независимость векторов......................13
§ 3. Базис и размерность линейного пространства свободных векторов. Координаты вектора в данном базисе..................................................................17
§ 4. Скалярное произведение векторов...................................21
§ 5. Векторное и смешанное произведение векторов.............26
§ 6. Некоторые задачи аналитической геометрии в пространстве и на плоскости..................38
§ 7. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве.......................41
§ 8. Полярные, цилиндрические и сферические координаты..................................44
Задачи к главе 1..................................................................48
Глава 2. Прямые линии и плоскости.............................................50
§ 1. Задание уравнений кривых и поверхностей.....................50
§ 2. Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве...........55
§ 3. Уравнение прямой в пространстве....................................60
§ 4. Основные задачи о прямых и плоскостях.........................62
§ 5. Пучок прямых (плоскостей).................................................67
Задачи к главе 2..................................................................69
Глава 3. Линии второго порядка...............................................70
§ 1. Каноническое уравнение эллипса, его свойства и построение.......................70
§ 2. Каноническое уравнение гиперболы, ее свойства и построение.....................73
§ 3. Каноническое уравнение параболы, ее свойства и построение.......................77
§ 4. Исследование линий второго порядка, заданных уравнениями общего вида.............78
Глава 4. Поверхности второго порядка....................................89
§ 1. Цилиндрические поверхности............................................89
§ 2. Конические поверхности.....................................................89
§ 3. Поверхности вращения.......................................................91
§ 4. Эллипсоиды, гиперболоиды и конусы второго порядка...............................92
§ 5. Параболоиды...................................................................95
§ 6. Цилиндры второго порядка.................................................97
§ 7. Общее уравнение поверхности второго порядка.............98
§ 8 Классификация поверхностей второго порядка ..............100
Задачи к главе 4..................................................................107
Глава 5. Матрицы и определители...........................................109
§ 1. Матрицы и действия над ними...........................................109
§ 2. Определители п -го порядка..............................................117
§ 3. Ранг Матрицы...................................................................... 132
§ 4. Обратная матрица...............................................................141
Задачи к главе 5...................................................................147
Глава 6. Системы линейных алгебраических уравнений.......150
§ 1. Общие понятия. Теорема Крамера....................................150
§ 2. Эквивалентные системы. Метод Гаусса решения систем. Теорема Кронекера-Капелли.........152
§ 3. Однородные системы.........................................................155
§ 4. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений................................161
Задачи к главе 6...................................................................162
Глава 7. Линейные пространства.............................................163
§ 1. Определение и примеры линейных пространств.............163
§ 2. Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства......................167
§ 3. Изоморфизм линейных пространств.................................175
§ 4. Линейные подпространства................................................177
§ 5. Прямая сумма подпространств..........................................180
§ 6. Геометрическая интерпретация множества решений системы линейных алгебраических уравнений...183
Задачи к главе 7..................................................................186
Глава 8, Вещественные и комплексные (унитарные) евклидовы пространства.....................187
Задачи к главе 8..................................................................200
Глава 9. Линейные операторы в линейном пространстве.....201
§ 1. Понятие линейного оператора и основные операции над ними..............................201
§ 2. Образ и ядро линейного оператора...................................206
§ 3. Обратный оператор.............................................................208
§ 4. Матрица линейного оператора..........................................210
§ 5. Матрица перехода от одного базиса к другому. Изменение координат вектора при изменении базиса...216
§ 6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора...........................218
§ 7. Инвариантное подпространство. Свойства собственных векторов линейного оператора ..222
§ 8. Геометрическая интерпретация собственных векторов и собственных значений оператора А............223
§ 9. Приведение матрицы оператора к диагональному виду................................226
§ 10. Практический способ приведения матрицы к диагональному виду............................229
Задачи к главе 9..................................................................231
Глава 10. Билинейные и квадратичные формы......................233
§ 1. Линейные формы (функционалы)......................................233
§ 2. Билинейные формы в вещественном пространстве........236
§ 3. Квадратичные формы в вещественном пространстве.........................................241
§ 4. Закон инерции квадратичных форм.................................249
§ 5. Знакоопределенные, знакопеременные и квазиопределенные квадратичные формы...................251
§ 6. Критерий Сильвестра (знакоопределенности квадратичной формы)...............................252
§ 7. Полуторалинейная (билинейная) форма в унитарном (евклидовом) пространстве................254
§ 8. Введение скалярного произведения с помощью полуторалинейной формы..........................256
§ 9. Представление линейной и полуторалинейной формы в унитарном пространстве...................256
Задачи к главе 10................................................................258
Глава 11. Сопряженные операторы. Нормальные, унитарные, самосопряженные операторы...............260
§ 1. Понятие сопряженного оператора и его свойства...........260
§ 2. Нормальные, самосопряженные, унитарные, ортогональные операторы и их матрицы................262
§ 3. Основная спектральная теорема нормальных операторов......................................272
§ 4. Связь между нормальными, самосопряженными и унитарными операторами...........................275
§ 5. Основная спектральная теорема самосопряженных операторов....................................276
§ 6. Основная спектральная теорема унитарных операторов.........................................277
§ 7. Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду...............................277
§ 8. Положительно определенные операторы........................282
§ 9. Одновременное приведение двух эрмитовых квадратичных форм к каноническому виду............284
§10. Приведение матрицы линейного оператора к треугольному виду...............................291
§11. Поверхности второго порядка в п -мерном пространстве.....................................293
§12. Классификация поверхностей второго порядка в п -мерном пространстве.......................299
Задачи к главе 11................................................................306
Список литературы.....................................................................308