Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Под ред. Ю.М. Смирнова. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М., 2005. — 376 с.
Представлены задачи по аналитической геометрии и линейной алгебре. Теоретические задачи, как правило, сопровождаются упражнениями различной трудности, способствующими самостоятельной проверке обучаемыми степени понимания ими новых определений и алгоритмов. По сравнению с первым изданием (М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000) во втором содержится около 300 новых либо существенно переработанных задач, расширены теоретические справки, в ответах к отдельным задачам даны краткие пояснения.
Для студентов университетов и других высших учебных заведений, получающих образование по математическим направлениям и специальностям.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 10
Часть I. Аналитическая геометрия
Глава 1. Системы координат на плоскости и в пространстве 13
§ 1 1 Системы координат первые задачи 13
§ 1 2 Полярные, сферические и цилиндрические системы координат 17
§ 1 3 Элементы векторной алгебры и аффинные системы координат 20
§ 1 4 Скалярное произведение 23
§ 1 5 Ориентация, векторное и смешанное произведения 26
§ 1 6 Скалярное, векторное и смешанное произведения в аффинной системе координат 33
Глава 2. Геометрические места точек, составление уравнений кривых на плоскости 36
§ 2 1 Эллипс, гипербола, парабола и их простейшие свойства 36
§ 2 2 Составление уравнений кривых на плоскости 41
Глава 3. Прямые на плоскости 46
§ З 1 Составление уравнения прямой по различным способам ее задания 46
§ 3 2 Взаимное расположение прямых на плоскости Пучки прямых 48
§ 3 3 Линейные неравенства 51
§ 3 4 Метрические задачи на прямую перпендикуляры, углы и расстояния 52
§ 3 5 Метрические задачи на плоскости в произвольной аффинной системе координат 56
Глава 4. Прямые и плоскости в пространстве 58
§ 4 1 Составление уравнений прямых и плоскостей 58
§ 4 2 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве Пучки и связки плоскостей Связки прямых 62
§ 4 3 Линейные неравенства в пространстве 69 § 4 4 Метрические задачи в пространстве 70
§ 4 4 Метрические задачи в пространстве в произвольной аффинной системе координат 75
Глава 5. Аффинные и ортогональные замены координат 76
Глава 6. Кривые второго порядка 83
§ 6 1 Составление уравнений кривых второго порядка 85
§ 6 2 Нахождение вида и расположения линии второго порядка по уравнению 87
§ 6 3 Ортогональные инварианты линий второго порядка 90
§ 6 4 Аффинные типы линий второго порядка 92
§ 6 5 Касательные к линии второго порядка 93
§ 6 6 Диаметры, взаимно сопряженные, и асимптотические направления линий второго порядка 97
§ 6 7 Пучки и связки линий второго порядка 101
Глава 7. Поверхности второго порядка 105
§ 7 1 Составление уравнений поверхностей 106
§ 7 2 Простейшие свойства поверхностей второго порядка 110
§ 7 3 Приведение поверхности к каноническому виду 112
§ 7 4 Ортогональные инварианты поверхностей второго порядка 115
§ 7 5 Касательные и диаметральные плоскости Прямолинейные образующие 118
§ 7 6 Плоские сечения поверхностей второго порядка 125
Глава 8. Аффинные и изометрические преобразования 130
§ 8 1 Аффинные преобразования плоскости 131
§ 8 2 Аффинные преобразования пространства 134
§ 8 3 Аффинные преобразования и линии второго порядка 135
§ 8 4 Изометрические преобразования плоскости и пространства 138
Глава 9. Проективная геометрия 141
§ 9 1 Проективная прямая 141
§ 9 2 Проективные преобразования прямой 144
§ 9 3 Проективная плоскость 145
§ 9 4 Проективные преобразования плоскости 149
§ 9 5 Линии второго порядка в проективных координатах 151
§ 9 6 Поляритет 155
Часть II. Линейная алгебра
Глава 10. Основные понятия линейной алгебры 159
§ 10 1 Векторное пространство, линейная независимость 159
§ 10 2 Базис, размерность, координаты 163
§ 10 3 Линейные подпространства и операции над ними 166
§ 10 4 Линейные функции и отображения 171
§ 10 5 Аффинные пространства 175
Глава 11. Операторы в линейных пространствах 179
§ 11 1 Матрица линейного оператора 179
§ 11 2 Ядро и образ линейного оператора Инвариантные подпространства Проекторы Комплексификация и овеществление 182
§ 11 3 Подстановка линейного оператора в многочлен Аннулирующие многочлены 185
§ 11 4 Собственные значения, собственные векторы 189
§ 11 5 Жорданова нормальная форма линейных операторов 194
§ 11 6 Подстановка оператора (матрицы) в функцию числового аргумента 198
§ 11 7 Нахождение инвариантных подпространств 200
Глава 12. Билинейные и квадратичные функции 202
§ 12 1 Общие сведения о билинейных и полуторалинейных функциях 202
§ 12 2 Симметрические и кососимметрические, эрмитовы и косоэрмитовы функции 203
§ 12 3 Приведение к каноническому виду 208
Глава 13. Пространства со скалярным произведением 211
§ 13 1 Элементарные свойства скалярного произведения 211
§ 13 2 Ортогональные системы векторов 216
§ 13 3 Матрица Грама n-мерный объем 221
§ 13 4 Ортогональное дополнение 226
§ 13 5 Расстояния и углы 227
§ 13 6 Геометрия аффинных евклидовых пространств 230
§ 13 7 n-мерный куб и n-мерный симплекс 233
§ 13 8 Метод наименьших квадратов и интерполяция функций 235
Глава 14. Операторы в пространствах со скалярным произведением 240
§ 14 1 Операторы в евклидовом (эрмитовом) пространстве 241
14 1 1 Сопряженный оператор (241)
14 1 2 Самосопряженные операторы (244)
14 1 3 Кососимметрические и косоэр-митовы операторы (250)
14 1 4 Ортогональные и унитарные операторы Группы преобразований (254)
14 1 5 Полярное разложение (264)
14 1 6 Нормальные операторы (265)
14 1 7 Операторы в евклидовых пространствах и системы линейных уравнений (268)
§ 14 2 Операторы в псевдоевклидовых, эрмитовых, симплектиче-ских пространствах и в пространствах с общим скалярным произведением 273
14 2 1 Сопряженные операторы (273)
14 2 2 Операторы, сохраняющие скалярное произведение (изометрические операторы) (274)
14 2 3 Самосопряженные (симметрические, эрмитовы) и кососимметрические (косоэрмитовы) операторы (277)
Глава 15. Квадратичные функции и поверхности второго порядка 280
§ 15 1 Квадратичные функции в евклидовом пространстве 280
§ 15 2 Поверхности второго порядка 283
Глава 16. Тензоры 285
§ 16 1 Основные понятия 288
§ 16 2 Тензорные произведения пространств 289
§ 16 3 Симметрические и кососимметрические тензоры 292
§ 16 4 Тензоры в евклидовых и симплектических пространствах 296
§ 16 5 Операция Ходжа и евклидова структура 299
Ответы и указания 301
Список литературы 371
