Тайманов И. А. Лекции по дифференциальной геометрии. — Ижевск, 2002. - 176 стр.
Изложены основы дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, а также несколько дополнительных разделов, посвященных теории групп Ли и элементам теории представления. Книга возникла из курса лекций, прочитанных автором на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. Несмотря на компактность книги, все вопросы разобраны достаточно доступно, имеются задачи для самостоятельною решения.
Может служить учебным пособием для студентов механико-математических и физических специальностей университетов.
Содержание
Предисловие..................................................5
ЧАСТЬ I КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 7
Глава 1. Теория кривых....................................9
1.1. Основные понятия теории кривых....................9
1.2. Кривые на плоскости..................................12
1.3. Кривые в трехмерном пространстве..................15
1.4. Группа ортогональных преобразований..............17
Глава 2. Теория поверхностей..............................23
2.1. Метрики на регулярных поверхностях ..............23
2.2. Кривизна линии на поверхности......................26
2.3. Гауссова кривизна......................................29
2.4. Деривационные уравнения и теорема Бонне .... 32
2.5. Теорема Гаусса..........................................38
2.6. Ковариантное дифференцирование и геодезические 39
2.7. Уравнения Эйлера-Лагранжа..........................44
2.8. Формула Гаусса-Бонне................................51
2.9. Минимальные поверхности............................59
ЧАСТЬ II. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 63
Глава 3. Гладкие многообразия............................65
3.1. Топологические пространства........................65
3.2. Гладкие многообразия и отображения................68
3.3. Тензоры..................................................76
3.4. Вложение гладких многообразий в евклидовы про-сгранства................................................80
Глава 4. Римановы многообразия..........................82
4.1. Метрический тензор....................................82
4.2. Аффинная связность и инвариантное дифференцирование ..................................................83
4.3. Римановы связности....................................88
4.4. Кривизна................................................91
4.5. Геодезические..........................................96
Глава 5. Примеры римановых многообразий и их приложений ...........................103
5.1. Плоскость Лобачевского ...............103
5.2. Псевдоевклидовы пространства и их приложения
в физике........................110
ЧАСТЬ III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 115
Глава 6. Минимальные поверхности и комплексный анализ .............................117
6.1. Конформная параметризация поверхности.....117
6.2. Теория поверхностей в терминах конформного параметра .........................122
6.3. Представление Вейерштрасса............128
Глава 7. Элементы теории групп Ли...........134
7.1. Линейные группы Ли.................134
7.2. Алгебры Ли ......................142
7.3. Геометрия простейших линейных групп ......148
ГЛАВА 8. Элементы теории представлений........155
8.1. Основные понятия теории представлений .....155
8.2. Представления конечных групп...........160
8.3. О представлениях компактных групп........169
Литература..........................174
