Веселов А. П., Троицкий Е. В. Лекции по аналитической геометрии. Учеб. пособие. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико—математическом ф-те МГУ. 2002. - 160 с.
Учебное пособие содержит конспект лекций по обязательному курсу аналитической геометрии, читаемому авторами на протяжении ряда лет для студентов первого курса механико-математического факультета МГУ.
Основной особенностью данного курса, впервые прочитанного первым автором, а затем переработанного вторым, является помещение в центр внимания теории конических сечений, что позволило, наряду с обычными аналитическими конструкциями, более явно представить геометрическую сторону предмета.
Для студентов первого курса.
Содержание
Введение: об истории предмета 5
1. Элементы векторной алгебры 8
1.1. Векторы в пространстве 8
1.2. Базисы и координаты 10
1.3. Деление отрезка в данном отношении 14
1.4. Скалярное произведение 14
1.5. Площадь, объем и ориентация 16
2. Прямые на плоскости 23
2.1. Прямые как линии первого порядка 23
2.2. Прямая на плоскости в прямоугольных координатах 29
2.3. Угол между прямыми на плоскости 30
3. Плоскости и прямые в пространстве 30
3.1. Плоскости в пространстве 30
3.2. Плоскость в прямоугольной системе координат 36
3.3. Прямая в пространстве 37
3.4. Некоторые формулы в прямоугольной системе координат 38
4. Замены координат 39
4.1. Замены аффинных координат 39
4.2. Прямоугольные системы координат и ортогональные матрицы 42
4.3. Углы Эйлера 43
4.4. SO(3) и кватернионы 45
4.5. Полярные, сферические и цилиндрические координаты 46
5. Конические сечения: эллипс, гипербола и парабола 49
5.1. Геометрические определения эллипса, гиперболы и параболы 49
5.2. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 50
5.3. Оптические (фокальные) свойства коник 53
5.4. Аналитические определения коник 56
5.5. Директориальные свойства коник 61
5.6. Фокальный параметр. Полярные уравнения коник 62
6. Общая теория кривых второго порядка 65
6.1. Канонические уравнения 65
6.2. Инварианты многочлена второй степени 70
6.3. Определение канонического уравнения по инвариантам 73
6.4. Распадающиеся кривые 77
6.5. Теоремы единственности для кривых второго порядка 79
6.6. Теорема Паскаля и построение кривой второго порядка по пяти заданным точкам 81
6.7. Пересечение кривой второго порядка с прямой 84
6.8. Нахождение асимптотических направлений 86
6.9. Диаметры и центры кривых второго порядка 88
6.10. Сопряженные диаметры и направления 91
6.11. Главные диаметры и оси симметрии 93
6.12. Вид и расположение кривых второго порядка 97
6.13. Касательные к кривым второго порядка 100
6.14. Поляра точки относительно коники 101
7. Аффинные и изометрические преобразования 107
7.1. Аффинные преобразования 107
7.2. Изометрические преобразования 110
7.3. Аффинная и метрическая классификация квадрик 116
8. Поверхности второго порядка 119
8.1. Приведение уравнения к каноническому виду 119
8.2. Основные виды поверхностей второго порядка и их геометрические свойства 124
8.3. Общая теория поверхностей второго порядка 135
8.4. Аффинная и метрическая классификация поверхностей второго порядка 140
8.5. Некоторые применения теории поверхностей второго порядка 142
9. Элементы проективной геометрии 143
9.1. Пополнение плоскости 143
9.2. Связка как модель проективной плоскости 144
9.3. Проективные преобразования 148
9.4. Проективно-аффинные преобразования 150
9.5. Проективная прямая. Двойное отношение и гармонические четверки 151
9.6. Кривые второго порядка на проективной плоскости 155
9.7. Поляритет на проективной плоскости 157
