Виленкин Н., Куницкая Е. Математический анализ. Интегральное исчисление

Виленкин Н., Куницкая Е., Мордкович А. Математический анализ. Интегральное исчисление. - М., 1979. - 177 с.
Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена интегральному исчислению функций одной переменной и является третьей в серии учебных пособий по математическому анализу, предназначенных для студентов-заочников. Ранее вышли в свет книги Н. Я. Виленкина и Е. С. Куницкой «Математический анализ. Введение в анализ», М., «Просвещение». 1973 (ниже цитируется как «Введение в анализ») и Н. Я. Виленкина, Е. С. Куницкой и А. Г. Мордковича «Математический анализ. Дифференциальное исчисление», М., «Просвещение», 1978 (ниже цитируется как «Дифференциальное исчисление»).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................3
Глава I. Неопределенный и определенный интегралы......... 5
§ 1. Основные понятия ..........................................—
1. Задача восстановления функции по ее производной..........—
2. Первообразная функция ................................—
3. Определения неопределенного и определенного интегралов . . 6
4. Таблица основных интегралов ............................10
5. Свойства неопределенного интеграла ......................12
6. Свойства определенного интеграла ........................13
Вопросы для самопроверки ................................16
Упражнения ...............................—
§ 2. Интегрирование по частям .......................17
1. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле .... —
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле..........20
3. Рекуррентные формулы ..................................—
Вопросы для самопроверки ................................22
Упражнения ............................................23
§ 3. Интегрирование методом замены переменной ..................24
1. Замена переменной в неопределенном интеграле..............—
2. Замена переменной в определенном интеграле................26
Вопросы для самопроверки ................................28
Упражнения ............................................—
§ 4. Метод неопределенных коэффициентов ........................30
Вопросы для самопроверки ..................................32
Упражнения ..............................................—
§ 5. Интегрирование рациональных функций ......................—
1. Интегрирование простейших рациональных функций..........—
2. Интегрирование правильных дробей ........................35
3. Интегрирование неправильных дробей ......................38
Вопросы для самопроверки ................................39
Упражнения..........................................40
§ 6. Интегрирование иррациональных функций ....................—
Упражнения............................................43
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций ................44
Вопросы для самопроверки ........................47
Упражнения ............................................48
§ 8. Вычисление интегралов с помощью таблиц....................49
Глава II. Определенный интеграл и его свойства......................52
§ 1. Определенный интеграл как число, разделяющее два числовых множества ...........53
1. Оценки определенных интегралов ..........................—
2. Определенный интеграл как разделяющее число..............55
3. Свойства нижних и верхних сумм Дарбу....................57
4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.....59
5. Интегрируемость монотонных функций ....................60
6. Интегрируемость непрерывных функций ....................61
Вопросы для самопроверки ................................63
Упражнения ............................................—
§ 2. Существование первообразной для непрерывной функции .... 64
1. Разбиение промежутка интегрирования ....................—
2. Среднее значение функции................................65
3. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему пределу......67
4. Формула Ньютона — Лейбница ..........................68
Вопросы для самопроверки ................................69
Упражнения ............................................—
§ 3. Свойства определенных интегралов ..........................70
1. Свойства определенных интегралов от непрерывных функций —
2. Интегрирование четных, нечетных и периодических функций 71
3. Интегрирование неравенств ..............................73
Вопросы для самопроверки ................................75
Упражнения ............................................—
§ 4. Несобственные интегралы ..................................76
1. Интегралы с бесконечным промежутком интегрирования ... —
2. Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода . . 80
3. Несобственные интегралы 2-го рода........................81
Вопросы для самопроверки ................................84
Упражнения ............................................—
§ 5. Интегральное определение логарифмической функции..........85
Глава III. Приложения определенного интеграла ....................89
§ 1. Вычисление площадей плоских фигур..........................—
1. Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств —
2. Квадрируемые области ..................................90
3. Свойства площадей квадрируемых фигур....................93
4. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах ....................................................96
5. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями ....................................69
6. Площадь в полярных координатах..........................100
Вопросы для самопроверки ................................102
Упражнения .......................—
§ 2. Вычисление объемов тел ....................................104
1. Кубируемые тела ........................................—
2. Объем прямого цилиндрического тела ......................106
3. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечспий 107
4. Принцип Кавальери ......................................109
5. Объем тела вращения ....................................110
Вопросы для самопроверки ................................113
Упражнения .. ........................................114
§ 3. Вычисление длин дуг ......................................115
1. Понятие спрямляемой кривой ..............................—
2. Достаточное условие спрямляемости кривой ................116
3. Вывод формулы длины дуги регулярной кривой..............118
4. Частные случаи формулы длины кривой ....................120
5. Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой . . 122
Вопросы для самопроверки ................................124
Упражнения ............................................125
§ 4. Кривизна плоской кривой ................................126
Вопросы для самопроверки ..................................129
Упражнения ..............................................—
§ 5. Площадь поверхности вращения ............................—
Вопросы для самопроверки ..................................133
Упражнения ..............................................134
§ 6. Приложения интегрального исчисления к решению физических задач .........135
1. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести материальной кривой .......134
2. Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур ...........138
3. Теоремы Гульдина — Паппа ..............................141
4. Вычисление моментов инерции ..............................143
5. Другие приложения интегрального исчисления к физике ... 145
Вопросы для самопроверки .............................147
Упражнения ..........................................148
Приложение 1 (таблица неопределенных интегралов) ....149
Приложение 2 (примерные варианты контрольной работы)...164
Ответы ...............................................168

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗