Титаренко О. М. Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник

Титаренко О. М. Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник.— Донецьк: СПД ФО Сердюк В. I., 2005.— 368 с.
У посібнику розглядаються ті розділи шкільної математики, знання яких необхідно для успішного засвоєння у подальшому курсу вищої математики. Характерною властивістю посібника є те, що в ньому поряд з теоретичними відомостями з основних розділів шкільного курс алгебри і початків аналізу, наведено і розв'язано велику кількість різноманітних задач — від найпростіших, які розв'язуються усно, до підвищеної складності, причому багато задач розв'язані кількома способами.
Призначено для учнів середніх шкіл, гімназій, ліцеїв, технікумів, ПТУ, слухачів підготовчих курсів, абітурієнтів. Викладачі з математики знайдуть тут матеріал, який зможуть використовувати у своїй роботі.
ЗМІСТ
РОЗДІЛ 1 АРИФМЕТИКА
§ 1. Натуральні числа.......................................................11
§ 2. Арифметичні дії над натуральними числами ...............12
§ 3. Числові вирази. Порядок арифметичних дій у числовому виразі.......................13
§ 4. Ділення з остачею.......................................................14
§ 5. Ознаки подільності натуральних чисел.........................14
§ 6. Розкладання натурального числа на прості множники ... 15
§ 7. Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне ... 16
§ 8. Звичайні дроби...........................................................17
§ 9. Правильні і неправильні дроби ....................................18
§ 10. Основна властивість дробу.........................................19
§ 11. Скорочення дробу.....................................................19
§ 12. Зведення дробів до спільного знаменника....................19
§ 13. Додавання і віднімання дробів...................................21
§ 14. Множення дробів ......................................................23
§ 15. Ділення дробів..........................................................23
§ 16. Приклади на дії з дробами.........................................24
§ 17. Десяткові дроби........................................................26
§ 18. Додавання і віднімання десяткових дробів ..................26
§ 19. Множення десяткових дробів.....................................26
§ 20. Ділення десяткових дробів.........................................27
§ 21. Перетворення десяткового дробу у звичайний і звичайного у десятковий. Періодичні дроби...............28
§ 22. Відношення. Пропорція. Властивості пропорції...........З0
§ 23. Відсотки..................................................................31
§ 24. Складні відсотки.......................................................31
РОЗДІЛ 2 ЦІЛІ, РАЦІОНАЛЬНІ, ДІЙСНІ ЧИСЛА
§ 25. Додатні і від'ємні числа. Цілі числа...........................33
§ 26. Раціональні і ірраціональні числа..............................33
§ 27. Дійсні числа. Координатна пряма (числова вісь)..........34
§ 28. Порівняння дійсних чисел.........................................34
§ 29. Властивості числових нерівностей.............................
§ З0. Модуль (абсолютна величина) дійсного числа.............
§ 31. Дії з дійсними числами (додавання, віднімання, множення, ділення) .........................
§ 32. Властивості арифметичних дій над дійсними числами (основні закони алгебри).....................
РОЗДІЛ 3. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ множин
§ 33. Приклади множин, елементи множини, порожня множина......................
§ 34. Основні способи задання множин...............................
§ 35. Скінченні і нескінченні множини...............................
§ 36. Підмножини.............................................................
§ 37. Стандартні позначення і назви найбільш розповсюджених числових множин ....................
§ 38. Операції над множинами ...........................................
§ 39. Взаємно однозначна відповідність між множинами.....................
§ 40. Логічна символіка........................
РОЗДІЛ 4 ДІЇ З АЛГЕБРИЧНИМИ ВИРАЗАМИ
§ 41. Види алгебричних виразів........................
§ 42. Область визначення алгебричного виразу ....................
§ 43. Тотожно рівні вирази .........................
§ 44. Степінь натурального числа з натуральним показником...................
§ 45. Степінь дійсного числа з натуральним показником...................
§ 46. Властивості степеня дійсного числа з натуральним показником.......................
§ 47. Степінь дійсного числа з нульовим і від'ємним цілим показником.........................
§ 48. Одночлен і многочлен (загальні поняття)....................
§ 49. Многочлен п-го степеня і його окремі випадки для n = 0, 1, 2....................53
§ 50. Перетворення суми і різниці многочленів. Правило розкриття дужок. Зведення подібних членів (доданків)..................54
§ 51. Множення многочлена на многочлен ......................55
§ 52. Ділення з остачею многочлена на многочлен ...............55
§ 53. Формули скороченого множення .........................57
§ 54. Трикутник Паскаля ..........................57
§ 55. Вилучення повного квадрата двочлена з квадратного тричлена...................58
§ 56. Розкладання многочлена на множники....................59
§ 57. Цілі раціональні вирази.......................59
§ 58. Дробові раціональні вирази. Основна властивість раціонального дробу...................60
§ 59. Скорочення раціональних дробів ...........................61
§ 60. Зведення раціональних дробів до спільного знаменника.......................62
§ 61. Додавання і віднімання раціональних дробів.....................63
§ 62. Множення і ділення раціональних дробів ...................65
§ 63. Піднесення раціональних дробів до степеня.................66
§ 64. Розв'язання прикладів на тотожні перетворення раціональних виразів.........................66
§ 65. Корінь n-го степеня з дійсного числа.......................68
§ 66. Основні властивості коренів (правила дій з радикалами)...................69
§ 67. Винесення множника з-під кореня...........................69
§ 68. Внесення множника під корінь .....................70
§ 69. Зведення підкореневого виразу до цілого виду............70
§ 70. Звільнення дробу від ірраціональності в знаменнику дробу або в чисельнику дробу ...................71
§ 71. Подібні радикали.............................72
§ 72. Степінь дійсного числа з раціональним показником.....72
§ 73. Степінь дійсного числа з дійсним показником .............73
§ 74. Розв'язання прикладів на перетворення ірраціональних виразів...................74
§ 75. Середнє арифметичне і середнє геометричне. Нерівність Коші..................76
РОЗДІЛ 5 ФУНКЦІЇ І НАЙПРОСТІШІ ГРАФІКИ
§ 76. Область визначення і область значень функції.............77
§ 77. Основні способи задання функції.........................77
§ 78. Парні і непарні функції .........................79
§ 79. Періодичні функції..............................80
§ 80. Обмеженість функції...............................81
§ 81. Монотонність функції .............................81
§ 82. Проміжки знакосталості і корені функції....................82
§ 83. Точки мінімуму і точки максимуму функції. Екстремум функції .....................82
§ 84. Обернена функція............................83
§ 85. Основні елементарні функції...........................84
§ 86. Визначення і позначення деяких поширених функцій.....86
§ 87. Лінійна функція і її графік....................87
§ 88. Функція у= її графік ..........................89
§ 89. Квадратична функція і її графік..................91
§ 90. Функція у = х3 і її графік........................93
§ 91. Степенева функція з натуральним показником............93
§ 92. Степенева функція з цілим від'ємним показником .....94
§ 93. Функція у = і її графік........................................95
§ 94. Функція у і її графік........................................95
§ 95. Функція у і її графік........................................96
§ 96. Функція у = |x| і її графік.........................................97
§ 97. Функція у = [x] і її графік ........................................97
§ 98. Функція y={x} і її графік........................................98
§ 99. Геометричні перетворення графіків функцій...............98
РОЗДІЛ 6 АЛГЕБРИЧНІ РІВНЯННЯ І СИСТЕМИ РІВНЯНЬ
§ 100. Рівності і їхні властивості. Тотожності ................... 101
§ 101. Рівняння з однією змінною (загальні поняття)......... 102
§ 102. Рівносильність рівнянь........................ 103
§ 103. Сукупність рівнянь.......................... 104
§ 104. Класифікація алгебричних рівнянь.................... 104
§ 105. Лінійні рівняння і рівняння, що до них зводяться ........105
§ 106. Квадратні рівняння .......................... 107
§ 107. Неповні квадратні рівняння.................. 109
§ 108. Теорема Вієта........................... 110
§ 109. Двочленні рівняння..................... 111
§ 110. Тричленні рівняння. Біквадратні рівняння.............. 112
§ 111. Цілі раціональні рівняння вищих степенів. Теорема Везу.................. 113
§ 112. Симетричні рівняння третього степеня.................... 117
§ 113. Симетричні рівняння четвертого степеня................. 118
§ 114. Розв'язання деяких неповних раціональних рівнянь вищих степенів................. 119
§ 115. Розв'язання раціональних і дробово-раціональних рівнянь методом введення нової змінної........................ 121
§ 116. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля ..... 124
§ 117. Метод інтервалів (проміжків) при розв'язанні рівнянь з модулями ................... 125
§ 118. Ірраціональні рівняння.......................................... 128
§ 119. Системи рівнянь ................................................... 140
§ 120. Однорідні системи рівнянь..................................... 145
§ 121. Симетричні системи рівнянь................................... 147
РОЗДІЛ 7 АЛГЕБРИЧНІ НЕРІВНОСТІ
§ 122. Нерівності з однією змінною (основні поняття) ........ 149
§ 123. Лінійні нерівності і нерівності, які зводяться до лінійних ..................... 150
§ 124. Системи і сукупність нерівностей з однією змінною.. 152
§ 125. Геометрична інтерпретація нерівностей................... 154
§ 126. Нерівності другого степеня............................. 157
§ 127. Графічне розв'язання нерівностей другого степеня... 158
§ 128. Розв'язання раціональних нерівностей методом інтервалів..................... 161
§ 129. Узагальнений метод інтервалів............................... 165
§ 130. Метод заміни змінної при розв'язанні раціональних нерівностей...................... 167
§ 131. Нерівності з модулем ............................................ 168
§ 132. Ірраціональні нерівності........................................ 174
РОЗДІЛ 8 ПРОГРЕСІЇ
§ 133. Поняття числової послідовності..................... 179
§ 134. Арифметична прогресія...................... 180
§ 135. Геометрична прогресія............................ 183
§ 136. Нескінченно спадна геометрична прогресія ............. 187
§ 137. Комбіновані задачі на арифметичну і геометричну прогресії................ 190
РОЗДІЛ 9 ТРИГОНОМЕТРІЯ
§ 138. Кути та їхні виміри.......................... 193
§ 139. Визначення тригонометричних функцій.................. 195
§ 140. Основні тригонометричні тотожності....................... 198
§ 141. Розв'язування важливих прикладів, доведення тотожностей................. 199
§ 142. Властивості тригонометричних функцій..................203
§ 143. Формули зведення.......................... 206
§ 144. Основні формули тригонометрії........................208
§ 145. Розв'язування прикладів на тотожні перетворення тригонометричних виразів..............211
§ 146. Властивості і графік функції у=зіпх ....................... 215
§ 147. Властивості і графік функції у=созх ....................... 216
§ 148. Властивості і графік функції у=І£х......................... 216
§ 149. Властивості і графік функції у=сі£х ....................... 217
§ 150. Обернені тригонометричні функції.......................... 218
§ 151. Тригонометричні функції від обернених тригонометричних функцій............ 225
§ 152. Найпростіші тригонометричні рівняння................... 227
§ 153. Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь 237
§ 154. Розв'язування тригонометричних рівнянь із застосуванням комбінованих способів.................257
§ 155. Тригонометричні рівняння, що містять обернені тригонометричні функції .................... 267
§ 156. Системи тригонометричних рівнянь........................ 269
§ 157. Тригонометричні нерівності................................... 271
РОЗДІЛ 10 ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ
§ 158. Показникова функція, її властивості і графік..........278
§ 159. Визначення логарифма. Основна логарифмічна тотожність ....................280
§ 160. Властивості логарифмів .........................................282
§ 161. Логарифмування і потенціювання...........................285
§ 162. Логарифмічна функція, її властивості і графік.........287
РОЗДІЛ 11
ПОКАЗНИКОВІ І ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ, СИСТЕМИ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТІ
§ 163. Методи розв'язування показникових рівнянь...........289
§ 164. Степенево-показникові рівняння.............................299
§ 165. Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь .. 302
§ 166. Системи показникових і логарифмічних рівнянь......315
§ 167. Показникові нерівності..........................................319
§ 168. Степенево-показникові нерівності...........................323
§ 169. Логарифмічні нерівності........................................330
§ 170. Приклади розв'язування показникових і логарифмічних нерівностей підвищеної складності......336
РОЗДІЛ 12 ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ
§ 171. Границя функції. Неперервність функції.................340
§ 172. Визначення похідної. Основні формули і правила диференціювання............... 341
§ 173. Геометричне значення похідної...............................345
§ 174. Застосування похідної до дослідження функцій і побудови графіків.................... 346
§ 175. Задачі на знаходження найменшого і найбільшого значень функції. Екстремальні геометричні задачі......... 348
РОЗДІЛ 13 ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ БЕЗ ВИКОРИСТАННЯ ПОХІДНОЇ
§ 176. Застосування геометричних перетворень.................352
РОЗДІЛ 14 МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ
§ 177. Загальні і окремі твердження. Дедукція і індукція ..... 357
§ 178. Метод математичної індукції.................................. 357
§ 179. Символи підсумовування і добутку ......................... 360
ДОДАТОК
Приблизна програма з математики для втупників у ВНЗ.........363
1. Основні математичні поняття і факти ........................... 363
2. Основні формули і теореми ..........................................365
Список літератури........................................................... 367