Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. — М., 2006. — 368 с.
Рассматриваются основные темы дискретной математики и математической логики: теория множеств, элементы комбинаторики, теория графов, теория переключательных функций и автоматов, теория кодирования, формальная логика, логические исчисления, формальные теории и теория алгоритмов, элементы теории нечетких множеств. Сложные вопросы математики рассматриваются на простых примерах. Большая часть материала снабжена методическими разработками авторов. Имеются задания для самостоятельной работы студентов. Для студентов вузов, обучающихся по специальностям "Прикладная информатика в экономике", "Экономика и управление на предприятии", а также для преподавателей.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие..........................................................................9
Ч а с т ь 1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА..................................11
1. Множества и алгебраические системы. Булевы алгебры .... 11
1.1. Основные понятия теории множеств..............................11
1.2. Основные операции над множествами............................13
1.3. Декартово произведение множеств..................................16
1.4. Соответствия и функции....................................................16
1.5. Отношения ...............................................19
1.6. Использование множеств в языке Паскаль....................21
2. Элементы общей алгебры .....................................26
2.1. Операции на множествах ..................................................26
2.2. Группа подстановок Галуа..................................................29
2.3. Алгебра множеств (алгебра Кантора)..............................32
2.4. Алгебраические системы. Решетки..................................33
2.5. Задание множеств конституентами..................................36
2.6. Решение уравнений в алгебре множеств ........................37
3. Элементы комбинаторики ..........................................................39
3.1. Комбинаторные вычисления............................................39
3.2. Основные понятия комбинаторики ................................40
3.3. Размещения......................................................42
3.4. Перестановки ......................................................................45
3.5. Сочетания ............................................................................47
3.6. Треугольник Паскаля..........................................................50
3.7. Бином Ньютона ..................................................................52
3.8. Решение комбинаторных уравнений ..............................54
4. Основные понятия теории графов..............................................57
4.1. Способы задания графов....................................................57
4.2. Характеристики графов......................................................63
4.3. Понятие о задачах на графах ............................................70
4.4. Задача о Ханойской башне................................................72
5. Переключательные функции и способы их задания........ 74
5.1. Понятие о переключательных функциях............ 76
5.2. Двоичные переключательные функции и способы
их задания ............................................................................78
5.3. Основные бинарные логические операции....................82
5.4. Понятие о переключательных схемах и технической реализации переключательных функций..............88
5.5. Использование логических операций в теории графов 92
6. Элементарные двоичные переключательные функции и функциональная полнота систем переключательных функций 94
6.1. Элементарные переключательные функции одной переменной ..................................... 94
6.2. Элементарные переключательные функции двух переменных ..................................... 95
6.3. Функциональная полнота систем переключательных функций .................................... 97
6.4. Базисы представления переключательных функций .. 100
6.5. Пример анализа и определения свойств ПФ, заданной десятичным номером......................... 102
7. Основные законы булевой алгебры и преобразование переключательных функций ........................... Ш5
7.1. Основные законы булевой алгебры переключательных функций .................................... 105
7.2. Равносильные преобразования. Упрощение формул алгебры переключательных функций ........... 107
7.3. Преобразование форм представления переключательных функций ...................................112
8. Минимизация переключательных функций............... 118
8.1. Цель минимизации переключательных функций .... 118
8.2. Основные понятия и определения, используемые
при минимизации................................ 120
8.3. Аналитические методы минимизации переключательных функций ........................................................................123
8.4. Минимизация переключательных функций по картам Карно..............................................................................129
8.5. Метод поразрядного сравнения рабочих и запрещенных наборов.......................................136
8.6. Минимизация переключательных функций, заданных в базисе {Ф, И, НЕ} ....................................................142
8.7. Минимизация систем переключательных функций .. 142
8.8. Минимизация переключательных функций методом неопределенных коэффициентов ............................155
9. Понятие об автомате и его математическом описании............157
9.1. Основные определения теории конечных автоматов . 157
9.2. Описание конечных детерминированных автоматов таблицами переходов-выходов и графами ...... 159
9.3. Понятие о технической интерпретации конечных автоматов..............................................................................164
9.4. Синтез комбинационных автоматов в заданном базисе 169
9.5. Булева производная............................................................176
9.6. Элементарные автоматы памяти на основе комбинационного автомата и задержки ....................................179
9.7. Синтез автомата - распознавателя последовательности .........................................186
10. Элементы теории кодирования..................................................193
Часть 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ..........................................214
11. Понятие об алгоритмах. Схемы алгоритмов............................214
11.1. Понятие об алгоритме и теории алгоритмов................214
11.2. Схемы алгоритмов ........................................216
11.3. Рекурсивные функции......................................................219
11.4. Машина Тьюринга.....................................................224
11.5. Машина Поста ..................................................231
11.6. Нормальные алгорифмы А.А. Маркова........................233
11.7. Универсальная абстрактная машина..............................234
11.8. Разрешимость в теории алгоритмов. Проблема самоприменимости ..........................................................236
11.9. Сложность алгоритма .......................... 239
11.10. Представление схемы алгоритма эквивалентным автоматом..........................................................................240
11.11. Представление схемы алгоритма микропрограммой с двумя типами микрокоманд ..............................252
12. Элементы формальной логики....................................................255
12.1. Предмет формальной логики..........................................255
12.2. Понятие и его виды ..........................................................257
12.3. Отношения между понятиями...................................258
12.4. Операции над понятиями................................................260
12.5. Суждение и его характеристика......................................261
13. Умозаключение............................................................................268
13.1. Виды умозаключений ......................................................268
13.2. Непосредственное умозаключение................................269
13.3. Опосредованное дедуктивное умозаключение. Фигуры силлогизма..........................................................275
13.4. Дополнительные виды силлогизмов..............................277
13.5. Индуктивные умозаключения. Математическая индукция ............................................................................278
14. Логика высказываний..................................................................279
14.1. Семантика логики высказываний..................................279
14.2. Синтаксис логики высказываний. Формулы логики высказываний ..............................................................281
14.3. Формализация высказываний ........................................282
14.4. Интерпретации, разрешимость, выполнимость, общезначимость................................................................282
14.5. Логическая равносильность. Законы логики ..............283
14.6. Формы представления формул логики высказываний 285
14.7. Проблема дедукции в логике высказываний................286
15. Проверка правильности логических выводов.
Метод резолюций........................................................................287
15.1. Закон контрапозиции ......................................................287
15.2. Логическое следование. Проверка правильности логических выводов ........................................................288
15.3. Силлогизмы в логике высказываний ............................288
15.4. Получение следствий из данных посылок....................291
15.5. Метод резолюций..................................................292
16. Синтаксис и семантика языка логики предикатов....................293
16.1. Понятие предиката............................................................293
16.2. Кванторы и связанные переменные..............................294
16.3. Синтаксис языка логики предикатов. Формулы логики предикатов и формализация суждений............295
16.4. Семантика формул логики предикатов ........................296
17. Тождественные преобразования формул
логики предикатов........................................................................297
17.1. Операции над предикатами ............................................297
17.2. Основные равносильности логики предикатов ..........299
17.3. Тождественные преобразования формул......................302
17.4. Универсум Эрбрана..........................................................305
18. Использование метода резолюций
в логике предикатов ....................................................................308
18.1. Подстановка и унификация............................................308
18.2. Резольвенция и факторизация........................................309
18.3. Метод резолюций в логике предикатов........................310
18.4. Принцип логического профаммирования ..................312
19. Логаческие исчисления ..............................................................315
19.1. Понятие о формальных теориях ....................................315
19.2. Исчисление высказываний..............................................319
19.3. Исчисление предикатов ..................................................322
19.4. Система натурного вывода..............................................325
19.5. Понятие о математической лингвистике......................327
19.6. Формальный язык ............................................................328
19.7. Формальные грамматики и их свойства........................330
19.8. Теоремы Гёделя..................................................................339
20. Неклассические логики ........................ ..............340
20.1. Современные модальные логики....................................340
20.2. Понятие о теории неопределенности...............347
20.3. Элементы теории нечетких множеств и нечеткая логика ..........................................................................348
20.4. Нечеткие алгоритмы ........................................................354
Литература..........................................................................................355
Приложение 1. Варианты контрольных заданий по дисциплине «Дискретная математика»................................358
Приложение 2. Варианты контрольных заданий по дисциплине
«Математическая логика» ....................................361
