М.Газале. Гномон. От фараонов до фракталов. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 272 с.
Мидхат Газале описывает и объясняет свойства гномонов (самоповторяющихся форм), повествует об их долгой и живописной истории , исследует математические и геометрические чудеса , возможные с их помощью. Этот информативный, увлекательный и прекрасно выполненный труд будет, несомненно, интересен всем, кого привлекают геометрические и математические чудеса, а также любителям математических головоломок и развлечений.
Оглавление
Предисловие............................................................10
Введение: гномоны ....................................................14
Гномоны и солнечные часы..............................................17
Геометрическое подобие..................................................20
Геометрия и числа........................................................22
Гномоны и обелиски......................................................25
Глава I. Фигурные и m-адические числа............................27
Фигурные числа..........................................................27
Свойство треугольных чисел......................................30
Свойство квадратных чисел ......................................32
m-адические числа........................................................33
Степени диадических чисел......................................34
Диадический гамильтонов путь..................................36
Степени триадических чисел......................................41
Глава II. Непрерывные дроби........................................43
Алгоритм Евклида........................................................44
Непрерывные дроби......................................................45
Простые непрерывные дроби............................................46
Подходящие дроби........................................................47
Конечные регулярные непрерывные дроби............................48
Периодические регулярные непрерывные дроби......................49
Спектры иррациональных квадратных корней..................51
Апериодические бесконечные регулярные непрерывные дроби ... 52
Обратноподходящие дроби..............................................54
Приложение ..............................................................55
Резюме в формулах......................................................56
Глава III. Последовательности Фибоначчи..........................59
Рекурсивное определение................................................61
Затравка и гномонные числа............................................61
Определение Fm,n в явном виде........................................62
Альтернативное явное определение....................................66
Моногномонная простая периодическая дробь........................68
Дигномонная простая периодическая дробь............................70
Произвольно оконченные простые периодические дроби............72
Когда m очень мало: от чисел Фибоначчи к гиперболическим и
тригонометрическим функциям..................................75
приложение: полигномонные простые периодические дроби .... 76
Резюме в формулах......................................................77
Глава IV. Лестницы ......................... 82
Лестница из преобразователей..................... 82
Электрическая лестница......................... 84
Резисторные лестницы...................... 85
Итерационные лестницы..................... 87
Мнимые компоненты....................... 91
Линия передачи.......................... 94
Несогласованная линия передачи ................ 94
Распространение волны по линии передачи .......... 96
Лестничные цепи из блоков....................... 99
Заметки на полях.............................103
Топологическое сходство.....................103
Глава V. Витые фигуры.......................105
Витые прямоугольники.........................105
Алгоритм Евклида.........................105
Моногномонные витые прямоугольники ............108
Дигномонные витые прямоугольники..............112
Самоподобие...............................117
Витые прямоугольники с неправильной затравкой..........119
Два витых треугольника.........................120
Заметки на полях.............................120
Еще раз о линиях передачи....................120
Глава VI. Золотое сечение......................124
От чисел к геометрии..........................127
Витой золотой прямоугольник.....................128
Завиток Фибоначчи...........................129
Витой золотой треугольник.......................130
Витой пятиугольник...........................132
Золотое сечение: от античности до эпохи Возрождения.......132
Заметки на полях.............................141
Тысячелистник...........................141
Фокус с золотым сечением....................143
Золотой узел............................144
Глава VII. Серебряное сечение...................147
От чисел к геометрии..........................149
Серебряный пятиугольник .......................150
Серебряная спираль...........................151
Улитка...................................154
Заметки на полях.............................156
Реп-тайлы Голомба........................156
Commedia dell'Arte ........................157
Повторные корни .........................161
Глава VIII. Спирали.........................164
Матрица поворота............................164
Моногномонная спираль ........................166
Самоподобие............................171
Равноугольность..........................171
Длина спирали...........................174
Прямоугольная дигномонная спираль.................178
Архимедова спираль...........................181
Затухающие колебания .........................182
Математический маятник.....................186
RLC-контур.............................189
Резистор ..............................190
Конденсатор............................191
Индуктор..............................191
Последовательный RLC-контур .................192
Приложение: уравнения в конечных разностях............194
Глава IX. Позиционные системы счисления............199
Деление..................................199
Позиционные системы счисления со смешанным основанием . . . 202
Нахождение цифр целого числа ....................206
Глава X. Фракталы .........................209
Кронекерово произведение.......................210
Ассоциативность кронекерова произведения..........212
Порядок матрицы.........................216
Коммутативность кронекерова произведения..........216
Векторы...............................218
Фрактальные решетки..........................219
Треугольник Паскаля и теорема Люка..............222
Салфетка и ковер Серпинского..................226
Канторова пыль..........................228
Последовательность Туэ-Морса и замощение плоскости . . . 234
Многомерные решетки .........................236
Коммутативность и многомерность...............238
Трехмерная пирамида Серпинского и губка Менгера.....239
Кронекерово произведение в отношении других операций.....243
Фрактальные ломаные линии......................245
Кривая Коха............................246
Заполняющая пространство кривая Пеано...........249
Коллекция регулярных фрактальных ломаных.........250
Регулярные ломаные смешанного типа и соответствующие
мозаики...........................251
Иррегулярная фрактальная ломаная: пятиугольная «Эйфеле-
ва башня»..........................251
Приложение: некоторые упрощающие обозначения.........253
Предметный указатель........................263
