Численное решение многомерных задач газовой динамики. С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов. - М., Главная редакция физико-математической литературы. - 1976.
Монография посвящена описанию эффективного метода численного интегрирования квазилинейных систем уравнений гиперболического типа и изложению результатов решения широкого класса задач газовой динамики, аэродинамики и ряда других разделов механики сплошных сред, которые были получены при помощи этого метода.
Одним из существенных требований, предъявляемых к современным численным методам, является адаптируемость алгоритмов к особенностям рассчитываемых течений. Отсюда возникает необходимость использования нерегулярных подвижных сеток, выделения поверхностей разрыва, удовлетворения граничным условиям различных типов и т. п. Все эти вопросы, вместе с традиционными требованиями, предъявляемыми к разностным схемам, освещаются в предлагаемой монографии.
Монография предназначена для широкого круга научных работников, студентов и аспирантов, специализирующихся в области численных методов и их применения к задачам механики сплошных сред.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................. 9
Часть первая. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА.......15
Глава I. Построение разностных схем для линейных гиперболических систем уравнений.....................15
§ 1. Одномерная акустика......................15
Уравнения акустики с одной пространственной переменной. Законы сохранения. Формулы общего решения и решения с заданными начальными данными, Задача о распаде разрыва.
§ 2. Разностная схема........................20
Кусочно-постоянная аппроксимация начальных данных. Построение решения с помощью распадов разрывов. Усреднение и законы сохранения- Разностные формулы. Построение той же схемы с помощью соотношений на характеристиках.
§ 3. Аппроксимация и устойчивость схемы..............25
Проверка аппроксимации схемы без граничных условий. Исследование устойчивости методом Фурье. Энергетическое неравенство. Вывод условия устойчивости для неограниченной области.
§ 4. Численные Примеры.......................32
Неустойчивость схемы при числе Куранта v . Размазывание разрывов при V . Разностная вязкость. Оценка зоны размазывания. Монотонность схемы. Плавный характер размазывания в сравнении с осцилляциями в схеме второго порядка.
§ 5. Схема для смешанной задачи..................40
Постановка граничных условий. Граничный распад разрыва. Модификация схемы на случай смешанной задачи. Диссипативные граничные условия обеспечивают устойчивость,
§ 6. Исследование точности схемы на границах............44
Построение решения разностной задачи в случае линейных начальных данных и граничных условий. Обоснование первого порядка точности схемы с граничными условиями. Разностный эффект на контактной границе. Обоснование точности схемы на контактной границе.
§ 7. Двумерная акустика......................54
Уравнения звуковых волн, зависящих от двух пространственных переменных. Прямоугольная разностная сетка. Разностные законы сохранения. Расчет вспомогательных («большихэ) величин с помощью распадов разрыва. Постановка граничных условий. Расчет «больших» величин на границах.
§ 8. Устойчивость двумерной схемы для акустики..........59
Закон сохранения энергии. Сеточная норма функций. Расщепление двумерной схемы на «одномерные». Достаточное условие устойчивости схемы в энергетической норме при диссипативных граничных условиях. Доказательство его необходимости методом Фурье.
§ 9. Явная одномерная схема для произвольной гиперболической системы .............................65
Симметрические системы. Интеграл энергии. Приведение системы к каноническому виду. Разностная схема. Основное неравенство — разностный аналог интеграла энергии. Условие устойчивости. Корректная постановка граничных условий. Диссипативные граничные условия обеспечивают устойчивость схемы при достаточно малом шаге. Конструкция схемы для несимметрической гиперболическои системы. Модификация схемы на случай переменных коэффициентов.
§ 10. Явная двумерная схема для произвольной гиперболической системы ............................75
Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями. Разностная схема на прямоугольной сетке. Основное неравенство —аналог интеграла энергии. Достаточное условие устойчивости схемы без граничных условий и с диссипативными граничными условиями. Условие устойчивости для параллелограммной сетки. Двумерные уравнения линейной теории упругости.
§11. Неявные разностные схемы...................87
Общая конструкция неявных схем, основанных на интегральных законах сохранения (метод предиктор-корректор). Неявная схема для простейшего модельної о уравнения. Исследование устойчивости методом Фурье. Сглаживающее усреднение. Реализация граничных условий. Перенесение схемы на систему уравнений с одной пространственной переменной. Прогонка как метод решения уравнений на промежуточном слое. Обобщение схемы на случай двух пространственных переменных.
Глава II. Квазилинейные гиперболические системы с двумя переменными .........................100
§ 12. Нестационарная одномерная газовая динамика ........100
Система нестационарных уравнений газовой динамики с одной пространственной переменной. Уравнение состояния. Законы сохранения массы, импульса и энергии. Соотношения на разрывах. Закон сохранения энтропии на гладких решениях и возрастания на ударных волнах. Условия Бете — Вейля для уравнения состояния. Понятие обобщенного решения.
§ 13. Задача о распаде разрыва...................105
Постановка задачи. Схематическое описание возможных конфигураций. Сведение к алгебраическому уравнению для давления на контактном разрыве. Итерационный процесс для его решения. Свойства уравнения и применение метода касательных Ньютона. Досчет величин, описывающих конфигурацию, возникающую при распаде разрыва. Пример неоднозначного решения задачи о распаде разрыва без привлечения закона возрастания энтропии.
§ 14. Схема для одномерных задач газовой динамики.........117
Общее описание схемы. Разностные законы сохранения в случае «плоской» геометрии. Использование подвижных сеток и соответствующая модификация разностной схемы. Осесимметричная геометрия, дифференциальная и разностная форма законов сохранения. Уравнения газовой Динамики в форме «каналового» приближения.
§ 15. Граничные условия для одномерных задач ...........124
Системе разностных уравнений требуется задание потоков массы, импульса и энергии через границы. Модификация задачи о распаде разрыва как способ реализации граничных условий в случаях: 1° непроницаемая стенка, 2° внешняя ударная волна, 3° свободная граница. Реализация граничных условий При сверхзвуковом режиме на «входе» (4°) или на «выходе» (5°) потока газа. Организация расчета на внутренних границах между счетными областями
§ 16. Аппроксимация и устойчивость одномерной схемы........129
Линеаризованная модель нестационарных уравнений одномерной газовой динамики и разностной схемы. «Звуковой» распад разрыва. Условие устойчивости линеаризованной модели схемы без граничных условий. Перенесение критерия устойчивости на нелинейную схему. Аппроксимация линеаризованных уравнений. Разностная вязкость.
§ 17. Иллюстрация одномерной схемы для нестационарных задач ... 134
Расчет взаимодействия ударных волн, образующихся при распаде разрыва и отражении от твердой стенки. Структура точного решения. Результаты грубого расчета с «размазыванием» разрывов. Описание тактики расчета с выделением некоторых из разрывов.
§ 18. Двумерные стационарные сверхзвуковые течения.......... 140
Уравнения стационарного сверхзвукового течения в форме иптегртьных законов сохранения. Условие постоянства полной энтальпии Разностные законы сохранения Формулы дня газодинамических величин. Проведение расчета на границах области. Условие устойчивости схемы.
§ 19. Задача о взаимодействии двух равномерных сверхзвуковых потоков ........................................147
Различные схемы взаимодействия. Приближенные формулы для взаимодействия потоков со слабо отличающимися параметрами. Формулы, пригодные для расчета взаимодействия в случае интенсивных волн разрежения.
§ 20. Примеры, иллюстрирующие точность стационарной схемы .... 153
Расчет косого скачка уплотнения и центрированной волны разрежения. Течение в осесимметричном сопле Лаваля и истечение недорасширенной сверхзвуковой струи в затопленное пространство
§ 21. Неявная одномерная схема для квазилинейных задач......159
Интегральные законы сохранения и квазилинейные уравнения. Общее описание схемы с пересчетом. Система неявных уравнений на промежуточном слое. Реализация граничных условий. Явный счет на границах счетных областей. Учет подвижности сетки.
Глава III. Построение разностных схем для решения многомерных задач..........................168
§ 22. Законы сохранения и уравнения газовой динамики.......168
Интегральная форма законов сохранения массы, импульса и энергии в механике сплошной среды Соответствующие дифференциальные уравнения. Соотношения на разрывах Различные формы уравнений нестационарной газовой динамики в декартовых и цилиндрических координатах. Симметризация уравнений математической физики и, в частности, уравнений газовой динамики. Дополнительный закон сохранения для симметрических систем уравнений.
§ 23. Подвижные сетки и простейшие способы их построения.....176
Дискретизация задачи и общая схема расчета. Простейшая сетка с движением границ по неподвижным лучам. Расстановка узлов сетки вдоль лучей. Расчет сетки в области с криволинейными границами по интерполяционным формулам.
§ 24. Расчетные формулы схемы для нестационарных двумерных задач 184
Разностные законы сохранения для произвольной сетки. Расчет потоков через боковые грани ячейки. Проведение расчета на внешних границах области. Движение внешних границ. Изменения в схеме для осесимметричных задач.
§ 25. Устойчивость и выбор шага по времени.............193
Схема расчета двумерных нестационарных газодинамических задач на прямоугольной сетке. Линеаризованная модель нестационарных уравнений газовой динамики. Критерий устойчивости линеаризованной модели. Использование его в квазилинейных задачах нестационарной двумерной газовой динамики. Линеаризованные модели для стационарной задачи с Двумя и тремя переменными. Критерии устойчивости разностных схем для стационарных сверхзвуковых течений.
§ 26. Схема для стационарных пространственных сверхзвуковых течений 200
Конструкция разностной сетки. Разностные законы сохранения. Определение «больших» величин из задач о взаимодействии двух потоков. Условие устойчивости схемы.
§ 27. Схема для нестационарных пространственных течений..... 207
Неподвижная пространственная сетка. Разностная форма законов сохранения. Условие устойчивости схемы.
Глава IV. Решение газодинамических задач в произвольных криволинейных координатах .....................211
§ 28. Формализация способов описания картины рассчитываемого течения ..............................211
Использование априорной информации о решении при построении вычислительного алгоритма. Связь криволинейной системы координат с конфигурацией особенностей решения. Формализация описания картины течения посредством понятий; счетная область, счетная граница, образ счетной области, образ счетной границы.
§ 29. Нестационарная система координат, следящая за движением границ. Выбор переменных.....................213
Локальная криволинейная система координат. Выбор неизвестных функций для описания движения и параметров, задающих локальную криволинейную систему координат.
§ 30. Уравнения газовой динамики в форме законов сохранения для криволинейной системы координат...............216
Построение интегральной системы уравнений газовой динамики в локальном базисе.
§ 31. Вычисление координат граничных точек в процессе движения . . 222
Способ задания положения счетных границ и гидродинамических величин, к ним относящихся, на данном временном шаге. Построение алгоритма движения счетных границ и определение их положения на следующий временной шаг.
§ 32. Уравнения для построения сеток................227
Математическая формализация задачи построения разностной сетки. Алгоритм I, использующий «обратные» уравнения Лапласа. Обеспечение его большей гибкости введением переменных параметров. Использование конформных и квазиконформных отображений (алгоритм II). Построение сеток, близких к ортогональным (алгоритм ІII).
§ 33. Численная реализация алгоритмов построения сеток.......235
Разностные уравнения, возникающие при численном решении систем уравнений, отвечающих алгоритмам I и П. Простейшие итерационные процессы для их решения. Численная реализация алгоритма III посредством метода переменных направлений. Оптимизация итерационных параметров. Некоторые примеры, иллюстрирующие алгоритмы построения сеток.
§ 34. Система разностных уравнений для нестационарных задач газовой динамики в локальной криволинейной системе координат .... 252
Построение в пространстве х, у, t элементарного объема V. Замена в интегральной системе уравнений газовой динамики, записанной в локальном базисе, произвольной области интегрирования на элементарный объем V. Дискретизация полученных интегральных соотношений и построение системы разностных уравнений.
§ 35. Расчет гидродинамических величин на промежуточном слое . . . 271
Получение явной и неявной схем в зависимости от способа вычисления гидродинамических величин на промежуточном слое. Интерпретация плоского распада разрыва в случае, когда два состояния газа разделены криволинейной границей. Неявная схема. Построение на основе системы уравнений, записанной в локальных криволинейных координатах, двух систем, каждая из которых зависит от одной пространственной переменной. Линеаризация этих систем и построение на их основе неявной разностной схемы.
§ 36 Некоторые замечания о принципах конструирования методики . . 277
Требования к разностному алгоритму, сложившиеся на основе опыта эксплуатации методики. Подходы и тактика решения задач.
Часть вторая. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МЕТОДА ... 283
Глава V. Задачи нестационарной газовой динамики.........283
§ 37. Дифракция ударной волны на двумерных телах.........283
Дифракция ударной волны (с равномерным сверхзвуковым и дозвуковым потоком за ней) на ромбовидном профиле, цилиндре, поставленном перпендикулярно плоскости течения, и на сфере. Развитие течения во времени и установление стационарной картины обтекания.
§ 38. Взаимодействие сферического взрыва с плоской поверхностью . . 288
Возникновение пространственного течения в результате взаимодействия сферически симметричного потока, образовавшегося при точечном взрыве, G плоскостью. Эволюция отражения ударной волны от регулярного к нерегулярному («маховскому»).
§ 39. Взрыв несферического заряда..................291
Идеализация задачи, заменяющая область выделения энергии при взрыве областью покоящегося газа с повышенным давлением. Использование подвижной разностной сетки, вьщеляющей головную ударную волну и контактную поверхность. Образование вторичной ударной волны. Влияние формы заряда.
§ 40. Некоторые задачи динамики нестационарных течений в каналах 295
Течение в ударной трубе переменного сечения. Развитие течения в канале воздухозаборника со сверхзвуковым потоком на входе, «замыкающим» скачком уплотнения вблизи сечения минимальной площади и дозвуковым потоком на выходе при изменении параметров в сечении входа или выхода. Динамические процессы в каналах, частично разделенных продольными перегородками. Отражение плоских волн от дозвуковой и трансзвуковой части сопла Лаваля.
§ 41. Распространение ударной волны по проводящему газу в круглой
трубе при наличии меридионального магнитного поля......305
Использование подвижной сетки, связанной с ударной волной. Эффект ускорения ударной волны, обусловленный двумерным характером течения. Сопоставление с выводами одномерного приближения.
§ 42. Расчет соударения металлических пластин (сварка взрывом) . . . 309
Постановка задачи. Выбор тактики расчета. Анализ полученных результатов
Глава VI. Расчет смешанных течений методом установления . . . .314
§ 43. Прямая задача теории двумерных сопел Лаваля.........315
Постановка задачи в случае сопла, примыкающего к полубесконечной цилиндрической трубе, и для сопла с «замкнутым» контуром. Течение в соплах различных типов (классическом сопле Лаваля и в сопле с центральным телом). Расчет закрученного и неизэнтропического потока в соплах и влияние эффектов закрутки и переменности энтропии на форму звуковой линии. Решение прямой задачи о течении проводящего газа в осесимметричном сопле Лаваля при наличии меридионального магнитного поля.
§ 44. Смешанные течения в плоских решетках.............321
Установление стационарной картины течения со сходом потока с задней кромки без использования в процессе расчета условия Чаплыгина — Жуковского. Применение криволинейных сеток.
§ 45. Истечение перерасширенной струи в затопленное пространство . . 326
Случай нерегулярного отражения скачка, идущего от кромки сопла, с образованием «диска Маха». Применение «полуподвижной» разностной сетки. Сравнение результатов, полученных при различном числе расчетных ячеек, сопоставление с результатами эксперимента.
§ 46. «Нормальное» соударение сверхзвуковой струи со стенкой .... 329
Различные схемы течения. Подвижная сетка, выделяющая границу струи. Примеры расчета.
§ 47. Обтекание плоских и осесимметричных тел............332
Обтекание кругового цилиндра, помещенного нормально плоскости течения, и комбинации конус—-цилиндр равномерным сверхзвуковым потоком с образованием местных дозвуковых зон. Течение около плоских профилей при сверх-критической скорости набегающего потока Некоторые результаты расчета звукового обтекания тел. Расчет околозвукового обтекания осесимметричных тел типа мотогондолы воздушно реактивного двигателя.
§ 48. Пространственное обтекание тел околозвуковым потоком.....338
Остроконечное тело с эллиптическим поперечным сечением, обтекаемое звуковым потоком под углом атаки. Околозвуковое и звуковое течения около комбинации конус — цилиндр, помещенной в поток под углом атаки.
§ 49. Прямая задача теории пространственного сопла Лаваля.....339
пространственные сопла с одной и с двумя плоскостями симметрии. Сравнение результатов расчета трансзвукового течения в соплах с поперечным сечением в форме эллипса при различном отношении длин полуосей. Несимметрия потока, вызванная несимметрией формы сопла.
Глава VII. Стационарные сверхзвуковые течения..........346
§ 50. Плоские и осесимметричные течения идеального газа......346
Недорасширенные струи, истекающие в затопленное пространство при больших степенях нерасчетности, когда часть струи, разворачиваясь около кромки сопла, течет в направлении, почти обратном первоначальному. Кольцевые и веерные струи. Примеры расчета течения в плоских воздухозаборниках.
§ 51. Течение в расширяющейся части пространственных сопел .... 356
Течение в расширяющейся части сопел с эллиптическим и с почти квадратным поперечным сечением, пространственное течение в расширяющейся части осесимметричного сопла, обусловленное несимметрией течения в начальном сечении.
§ 52. Истечение недорасширенных струй из сопел с некруговым выходным сечением..........................361
Истечение сверхзвуковой струи из сопел с эллиптическим и с почти квадратным выходным сечением. Эффект изменения ориентации «большой оси» поперечного сечения струи при удалении от среза сопла.
§ 53. Боковое взаимодействие сверхзвуковых осесимметричных струй друг с другом и с твердыми поверхностями...........366
Взаимодействие недорасширенных осесимметричных струй с плоскостями, параллельными и не параллельными оси сопла. Взаимодействие между одинаковыми «параллельными» струями, истекающими из сопел, оси которых лежат в одной плоскости. Боковое взаимодействие струи с цилиндрической поверхностью, параллельной оси сопла
§ 54. Обтекание конических тел....................375
Использование процесса установления по переменной сферической системы координат. Примеры расчета обтекания кругового, эллиптического и почти пирамидального конусов, треугольного и V-образного крыла и комбинации кругового конуса с треугольным крылом.
§ 55. Сверхзвуковое обтекание остроконечных пространственных конфигураций ............................387
Сравнение обтекания эквивалентных (в смысле распределения площади поперечного сечения) пространственных тел. Обтекание тела типа летательного аппарата.
Заключение..............................390
Литература ..............................393
