Горбузов, В.Н. Интегралы дифференциальных систем : монография / В.Н. Горбузов. - Гродно : ГрГУ, 2006. - 447 с.
Дано систематическое изложение теории интегралов систем уравнений в полных дифференциалах. Рассматриваются следующие вопросы: построение интегрального базиса систем уравнений в частных производных и в полных дифференциалах; автономность и цилиндричность интегралов и последних множителей; задача Дарбу о построении первых интегралов и последних множителей по известным частным интегралам для систем уравнений в полных дифференциалах; существование и ограниченность числа компактных интегральных многообразий, определяемых обыкновенными, в полных дифференциалах и в частных производных дифференциальными системами, а также системами уравнений Пфаффа и системами внешних дифференциальных уравнений; алгебраическая вложимость систем уравнений в полных дифференциалах.
Книга рассчитана на научных работников и аспирантов, занимающихся общей теорией дифференциальных уравнений и её приложениями. Также может быть использована при чтении специальных курсов по дифференциальным уравнениям.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................. 3
Список условных обозначений ................................ 7
Введение ..................................................... 9
1. Линейные дифференциальных операторы первого порядка..............9
2. Дифференциальные формы ........................... 12
Глава 1. Первые интегралы и последние множители ...... 15
§ 1. Полная разрешимость системы уравнений в полных дифференциалах.............. 15
1. Задача Коши ......................................... 15
2. Условия Фробениуса.................................. 17
2.1. Разрешимость задачи Коши .......... .................. 17
2.2. Необходимые условия полной разрешимости .............. 19
2.3. Интегральная система задачи Коши....... ............... 20
2.4. Теорема Фробениуса ............ ...................... 22
§ 2. Базис первых интегралов системы уравнений в полных дифференциалах ................ 26
1. Первый интеграл ..................................... 26
2. Базис первых интегралов ............................. 28
3. Размерность базиса первых интегралов вполне разрешимой системы..............29
§ 3. Первые интегралы линейной однородной системы уравнений в частных производных ....... 35
1. Базис первых интегралов ............................. 35
2. Основные классы систем ............................. 38
3. Неполная система .................................... 40
4. Полная система ...................................... 43
5. Размерность базиса первых интегралов ............... 49
§ 4. Размерность базиса первых интегралов не вполне разрешимой системы уравнений в полных дифференциалах — 53
§ 5. Метод Якоби построения базиса первых интегралов......60
1. Интегрирование якобиевой линейной однородной системы уравнений в частных производных............60
2. Интегрирование полной линейной однородной системы уравнений в частных производных............70
3. Построение базиса первых интегралов вполне разрешимой системы уравнений в полных дифференциалах .. 72
§ 6. Первые интегралы системы уравнений Пфаффа..........77
1. Интегрально равносильные системы Пфаффа ......... 77
2. Интегральный базис .................................. 79
3. Критерий существования первого интеграла........... 83
4. Интегральная равносильность с линейной однородной системой в частных производных.......... 85
5. Преобразование системы уравнений Пфаффа по известным первым интегралам......................88
6. Замкнутые системы...................................90
7. Интерпретация замкнутости в терминах дифференциальных форм ............................. 92
8. Незамкнутые системы ............................... 100
9. Интегральная равносильность с системой уравнений в полных дифференциалах ................ 102
§ 7. Цилиндричность и автономность первых интегралов .... 106
1. Цилиндричность первых интегралов линейной однородной системы уравнений в частных производных ... 106
2. Первые интегралы s-неавтономных вполне разрешимых систем уравнений в полных дифференциалах..... 111
3. s-неавтономные и (n-k)-цилиндричные первые интегралы систем уравнений в полных дифференциалах.. 115
§ 8. Последние множители ................................. 121
1. Последний множитель линейной однородной системы уравнений в частных производных........... 121
2. (п — к) -цилиндричные последние множители линейной однородной системы в частных производных ......... 124
3. Последний множитель системы уравнений в полных дифференциалах........................... 129
4. s-неавтономные (n — k)-цилиндричные последние множители системы в полных дифференциалах....... 132
§ 9. Первые интегралы и последние множители систем с симметриями ................................. 137
1. Построение первых интегралов и последнего множителя системы (д) по допускаемым операторам .. 137
2. Построение первых интегралов и последнего множителя системы (ICD) по допускаемым операторам..... 142
3. Обратная задача группового анализа................. 152
Глава 2. Частные интегралы............................... 161
§ 1. Интегральные многообразия ........................... 161
1. Интегральные гиперповерхности..................... 161
2. s -неавтономные (n — k)-цилиндричные интегральные гиперповерхности ..................... 164
§ 2. Интегралы неавтономной полиномиальной системы уравнений в полных дифференциалах............. 168
1. Неавтономная полиномиальная система уравнений в полных дифференциалах................. 168
2. Полиномиальные частные интегралы................. 169
3. Кратные полиномиальные частные интегралы ........ 173
4. Условные частные интегралы ........................ 176
5. Первые интегралы типа Дарбу....................... 178
6. Последние множители типа Дарбу ................... 184
§ 3. Частные интегралы автономных полиномиальных систем уравнений в полных дифференциалах ........... 187
1. Частные интегралы.................................. 187
2. Автономные системы типа Дарбу .................... 200
3. Построение первых интегралов и последних множителей ......................................... 206
3.1. Системы (APCD) класса A ...........................206
3.2. Системы (IAPCD) класса A ..........................208
3.3. Специальные случаи........... ......................212
4. Интегральные точки ................................. 227
4.1. Системы (APCD) класса B .......................... 227
4.2. Интегралы систем (APCD B)......... .................228
4.3. Интегралы систем (IAPCDB) ........ ................. 233
§ 4. Интегралы линейной автономной системы уравнений в полных дифференциалах ..................... 239
1. Линейный частный интеграл ......................... 239
2. Автономный базис первых интегралов................241
2.1. Случай вещественных интегральных характеристических корней ................................241
2.2. Случай комплексных интегральных характеристических корней .............................244
2.3. Случай кратных интегральных характеристических корней .. 252
3. Неавтономные первые интегралы .................... 267
§ 5. Интегралы автономной системы Якоби в полных дифференциалах..............................273
1. Линейный частный интеграл ......................... 273
2. Автономный базис первых интегралов................276
2.1. Случай вещественных интегральных характеристических корней ............................277
2.2. Случай комплексных интегральных характеристических корней .............................280
2.3. Случай кратных интегральных характеристических корней . . 288
3. Неавтономные первые интегралы .................... 305
Глава 3. Интегральные многообразия дифференциальных систем...............................312
§ 1. Ограниченность числа компактных регулярных интегральных многообразий....................313
1. Автономная обыкновенная дифференциальная система ................................... 313
2. Автономная система уравнений в полных дифференциалах ................................ 324
2.1. Ограниченность числа компактных интегральных многообразий ............................. 324
2.2. Признаки отсутствия компактных регулярных орбит ....... 326
§ 2. Ограниченность числа компактных интегральных гиперповерхностей ........................... 330
1. Система внешних дифференциальных уравнений .....331
2. Система уравнений Пфаффа.........................337
3. Автономная обыкновенная дифференциальная система ................................ 343
4. Автономная система в полных дифференциалах ...... 350
5. Линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных .............. 354
§ 3. Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах..............................358
1. Алгебраическая вложимость.........................358
2. Компактные регулярные орбиты алгебраически вложимых систем................................365
3. Выпрямляемость алгебраически вложимых систем ... 368
4. Интегралы алгебраически вложимых систем ......... 370
5. Об одном преобразовании ........................... 372
§ 4. Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных полиномиальных систем уравнений в полных дифференциалах............................... 374
1. Изолированные компактные регулярные орбиты......374
2. Регулярные центры..................................377
§ 5. Классификация слоений дифференциальных уравнений . 383
1. Вложимость.........................................383
1.1. Накрывающие слоения........... .....................383
1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения Риккати . . ... 387
2. Эквивалентность .................................... 395
2.1. Накрывающие слоения........... .....................395
2.2. Обыкновенные линейные дифференциальные системы . . .... 396
2.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения Риккати . . ... 401
2.4. Уравнения Риккати в полных дифференциалах . . . . ........404
2.5. Автономные линейные системы уравнений в полных дифференциалах......................407
2.6. Слабо накрывающие слоения......... .................412
2.7. Вещественные обыкновенные дифференциальные уравнения Риккати ......................414
2.8. Вещественные вполне разрешимые уравнения Риккати в полных дифференциалах...............419
3. Накрытие ........................................... 428
3.1. Накрывающие слоения........... ....................428
2.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения Риккати . . ... 430
Список использованной литературы ........................ 432
