Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М., 2004 — 552 с.
Книга представляет собой университетский учебник по функциональному анализу. Она рассчитана на студентов 3—5 курсов аспирантов и преподавателей математических факультетов, а также специализирующихся в области математики и теоретической физики научных работников В ее основу положены лекции, многократно читавшиеся автором на механико-математическом факультете МГУ и семинарские занятия, которые регулярно проводились им в академических группах этого факультета.
Вводимые понятия и доказываемые утверждения общего характера иллюстрируются большим числом примеров и упражнений (задач).
От читателя требуется подготовка в объеме двух первых курсов математических факультетов российских университетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .........6
Глава 0 Фундамент: категории и иже с ними...............15
§ 1 О множествах, а также линейных и метрических пространствах .............. . 16
§ 2 Топологические пространства ...............25
§ 3 Категории и их первые примеры...................38
§ 4 Изоморфизмы. Проблема классификации объектов и морфизмов ...... ..43
§ 5 Другие виды морфизмов............51
§ 6 Образец теоретико-категорной конструкции (ко)произведение......57
§ 7. Функторы.................... .65
Глава 1 Нормированные пространства и ограниченные операторы. (В ожидании полноты)................... 77
§ 1 Преднормированные и нормированные пространства. Примеры ................................... 77
§ 2 Скалярные произведения и почти гильбертовы пространства .................. 90
§ 3. Ограниченные операторы: первые сведения и самые необходимые примеры .................... 101
§ 4. Топологические и категорные свойства ограниченных операторов.....................109
§ 5 Некоторые типы операторов и операторные конструкции. Проекторы ....... 121
§ 6 Функционалы и теорема Хана — Банаха.......... 131
§ 7 Приглашение в квантовый функциональный анализ......146
Глава 2. Банаховы пространства и их преимущества........ 157
§ 1. То, что лежит на поверхности........................157
§ 2. Категории банаховых и гильбертовых пространств. Вопросы классификации и Теорема Фишера — Рисса .....167
§ 3. Теорема об ортогональном дополнении и вокруг нее...................175
§ 4. Принцип открытости и принцип равномерной непрерывности ................185
§ 5. Функтор банаховой сопряженности и другие категорные вопросы ......... 192
§ 6. Пополнение .....206
§ 7. Алгебраическое и банахово тензорное произведение . 212
§ 8. Гильбертово тензорное произведение .......... 227
Глава 3. От компактных пространств до фредгольмовых операторов ................... 234
§ 1. Компакты и связанные с ними функциональные пространства ..............234
§ 2. Метрические компакты и сверхограниченность ......... 245
§ 3. Компактные операторы: общие свойства и примеры .........255
§ 4. Компактные операторы между гильбертовыми пространствами и их некоторые классы.......... 262
§ 5. Фредгольмовы операторы и индекс .... 282
Глава 4. Полинормированные пространства, слабые топологии и обобщенные функции....... 298
§ 1. Полинормированные пространства ........ 298
§ 2. Слабые топологии ....... .313
§ 3. Пространства пробных и обобщенных функций ....331
§ 4. Обобщенные производные и вопросы строения обобщенных функций..... 346
Глава 5. У врат спектральной теории ..... 356
§ 1. Спектры операторов и их классификация. Примеры ..... 356
§ 2. Немного алгебры ................ ... 363
§ 3. Банаховы алгебры и спектры их элементов. Еще немного о фредгольмовости 371
Глава 6. Гильбертовы сопряженные операторы и спектральная теорема................ 389
§ 1. Гильбертова сопряженность: первые сведения ......389
§ 2. Самосопряженные операторы и их спектры. Теорема Гильберта
§ 3. Взгляд сверху: инволютивные алгебры, С-алгебры и алгебры фон Нойманна ............. 412
§ 4. Непрерывное функциональное исчисление и положительные операторы .................. 427
§ 5. Спектральная теорема в облике операторнозначного интеграла Римана — Стильтьеса.......... 439
§ 6 Борелево исчисление и спектральная теорема в облике операторнозначного интеграла Лебега....... 453
§ 7. Геометрическая форма спектральной теоремы: модели и классификация .................. 470
§ 8. Отличнику доказательство завершенной спектральной теоремы
Глава 7. Преобразование Фурье..................... 488
§ 1. Классическое преобразование Фурье................ 488
§ 2. Свертка и преобразование Фурье как гомоморфизм..... 499
§ 3. Преобразование Фурье пробных и обобщенных функций .... 512
§ 4. Преобразование Фурье квадратично интегрируемых функций ..... 521
§ 5. Кое-что о гармоническом анализе на группах.......... 529
Список литературы................................. 537
Указатель обозначений............................ 541
