Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности / Перевод с англ. И. С. Емельяновой. - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. 421с.
Настоящий учебник охватывает обширный материал, включающий составление и анализ математических моделей различных процессов и явлений из области физики, техники, биологии, медицины и экономики. Рассматриваемые модели описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями с частными производными и их системами. Излагаются классические и современные методы решения дифференциальных уравнений. В частности, широко представлен инвариантный подход, связанный с привлечением локальных групп Ли, которые позволяет находить решения нелинейных задач а аналитической форме.
Учебник предназначен студентам, аспирантам и преподавателям естественно-научных факультетов классических, технических и педагогических университетов, а также специалистам в области чистой и прикладной математики.
Оглавление
Предисловие переводчика 13
Предисловие к третьему изданию 15
Предисловие ко второму изданию 17
Предисловие к первому изданию 18
Глава 1. Необходимые сведения из анализа 20
1.1. Элементарная математика....................................20
1.1.1. Числа, переменные и элементарные функции ... 20
1.1.2. Квадратные и кубические уравнения................25
1.1.3. Площади подобных фигур. Эллипс в качестве примера..................................................28
1.1.4. Алгебраические кривые второго порядка............30
1.2. Дифференциальное и интегральное исчисление............36
1.2.1. Правила дифференцирования........................36
1.2.2. Теорема о среднем значении..........................37
1.2.3. Инвариантность дифференциала....................38
1.2.4. Правила интегрирования..............................39
1.2.5. Ряд Тейлора............................................39
1.2.6. Комплексные переменные..............................41
1.2.7. Приближенное представление функций..............43
1.2.8. Якобиан. Функциональная независимость. Замена переменных в многомерных интегралах ............44
1.2.9. Линейная независимость функций. Вронскиан . . 45
1.2.10. Интегрирование в квадратурах......................46
1.2.11. Дифференциальные уравнения для семейства кривых.................................................47
1.3. Векторный анализ..............................................50
1.3.1. Векторная алгебра......................................50
1.3.2. Вектор-функции........................................52
1.3.3. Векторные поля........................................53
1.3.4. Три классические теоремы об интегралах..........55
1.3.5. Уравнение Лапласа....................................56
1.3.6. Дифференцирование детерминантов................57
1.4. Представление дифференциальной алгебры................57
1.4.1. Дифференциальные переменные. Полное дифференцирование....................................57
1.4.2. Производные высших порядков от произведения и
от сложных функций..................................58
1.4.3. Дифференциальные функции нескольких переменных..............................................59
1.4.4. Наглядное представление дифференциальных уравнений................................................60
1.4.5. Преобразование производных........................62
1.5. Вариационное исчисление......................................64
1.5.1. Принцип наименьшего действия......................64
1.5.2. Уравнения Эйлера-Лагранжа в случае нескольких переменных................................66
Задачи к главе 1......................................................67
Глава 2. Математические модели 71
2.1. Введение........................................................71
2.2. Природные явления............................................73
2.2.1. Модели популяции......................................73
2.2.2. Экология: радиоактивные отходы....................74
2.2.3. Законы Кеплера. Гравитационный закон Ньютона 75
2.2.4. Свободное падение тела вблизи Земли......."76
2.2.5. Метеороид..................... . 77
2.2.6. Модель падения дождя................................79
2.3. Физика и технические науки..................................80
2.3.1. Ньютонова модель охлаждения......................80
2.3.2. Механические колебания. Маятник..................88
2.3.3. Разрушение ведущих валов............................93
2.3.4. Уравнение Ван дер Поля..............................95
2.3.5. Телеграфное уравнение................................96
2.3.6. Электродинамика......................................97
2.3.7. Уравнение Дирака......................................98
2.3.8. Динамика жидкости....................................99
2.3.9. Уравнения Навье-Стокса..............100
2.3.10. Модель ирригационной системы...........101
2.3.11. Магнитогидродинамика................101
2.4. Явление диффузии ......................102
2.4.1. Линейное уравнение теплопроводности.......102
2.4.2. Нелинейное уравнение теплопроводности . ..... 104
2.4.3. Уравнения Бюргерса и Кортевега-де Фриза .... 105
2.4.4. Математическое моделирование в области финансов........................106
2.5. Биоматематика.........................107
2.5.1. Смышленые грибы...................107
2.5.2. Модель роста опухоли.................109
2.6. Волновые явления.......................110
^ 2.6.1. Малые колебания струны...............111
2.6.2. Колебания мембраны.................114
2.6.3. Минимальные поверхности..............116
2.6.4. Колебания тонких стержней и пластинок .....117
2.6.5. Нелинейные волны ..................119
2.6.6. Уравнения Чаплыгина и Трикоми..........121
Задачи к главе 2...........................122
Глава 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Традиционный подход 123
3.1. Введение и элементарные методы..............123
3.1.1. Дифференциальные уравнения. Задача
с начальным условием ................123
3.1.2. Интегрирование уравнения = f{x)......126
3.1.3. Однородные уравнения................126
3.1.4. Различные типы однородности............129
3.1.5. Понижение порядка..................131
3.1.6. Линеаризация путем дифференцирования.....132
3.2. Уравнения первого порядка.................132
3.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными .... 132
3.2.2. Уравнения в полных дифференциалах.......133
3.2.3. Интегрирующий множитель (А. Клеро, 1739) . . . 135
3.2.4. Уравнение Риккати..................136
3.2.5. Уравнение Бернулли .................141
3.2.6. Однородные линейные уравнения..........141
3.2.7. Неоднородные линейные уравнения. Вариация параметра........................142
3.3. Линейные уравнения второго порядка ...........144
3.3.1. Однородные уравнения: суперпозиция.......144
3.3.2. Однородное уравнение: свойства эквивалентности....................145
3.3.3. Однородное уравнение: постоянные коэффициенты.....................148
3.3.4. Неоднородное уравнение: вариация параметров . . 151
3.3.5. Уравнение Бесселя и функции Бесселя.......155
3.3.6. Гипергеометрическое уравнение...........155
3.4. Линейные уравнения высокого порядка...........157
3.4.1. Однородные уравнения. Фундаментальная
система.........................158
3.4.2. Неоднородные уравнения. Вариация параметров . 158
3.4.3. Уравнения с постоянными коэффициентами .... 159
3.4.4. Уравнение Эйлера...................161
3.5. Системы уравнений первого порядка............162
3.5.1. Общие свойства систем................162
3.5.2. Первые интегралы...................163
3.5.3. Линейные системы с постоянными коэффициентами....................168
3.5.4. Вариация параметров для систем..........169
Задачи к главе 3...........................172
Глава 4. Уравнения с частными производными первого
порядка 174
4.1. Введение............................174
4.2. Однородное линейное уравнение...............175
4.3. Неоднородные уравнения частного вида..........177
4.4. Квазилинейные уравнения.................179
4.5. Системы однородных уравнений............... 182
Задачи к главе 4...........................187
Глава 5. Линейные дифференциальные уравнения
с частными производными второго порядка 189
5.1. Уравнения с несколькими переменными..........189
5.1.1. Классификация в фиксированной точке......189
5.1.2. Сопряженные линейные дифференциальные операторы .......................192
5.2. Классификация уравнений с двумя независимыми
переменными..........................194
5.2.1. Характеристики. Три типа уравнений ......194
5.2.2. Стандартная форма гиперболических уравнений . 196
5.2.3. Стандартная форма параболических уравнений . . 198
5.2.4. Стандартная форма эллиптических уравнений . . 198
5.2.5. Уравнения смешанного типа.............200
5.2.6. Тип нелинейных уравнений .............200
5.3. Интегрирование гиперболических уравнений с двумя переменными..........................201
5.3.1. Решение Д'Аламбера.................202
5.3.2. Уравнения, приводимые к волновому уравнению . 203
5.3.3. Метод Эйлера.....................207
5.3.4. Каскадный метод Лапласа..............210
5.4. Задача с начальными условиями...............212
5-4.1. Волновое уравнение..................212
5.4.2. Неоднородное волновое уравнение..........214
5.5. Смешанная задача. Разделение переменных........216
5.5.1. Колебания струны с закрепленными концами . . . 217
5.5.2. Смешанная задача для уравнения теплопроводности...................221
Задачи к главе 5...........................222
Глава 6. Нелинейные обыкновенные дифференциальные
уравнения 225
6.1. Введение............................225
6.2. Группы преобразований....................226
6.2.1. Однопараметрические группы на плоскости .... 226
6.2.2. Генератор группы и уравнения Ли .........228
6.2.3. Экспоненциальное отображение...........230
6.2.4. Инварианты и инвариантные уравнения......231
6.2.5. Канонические переменные..............234
6.3. Симметрии уравнений первого порядка...........236
6.3.1. Первое продолжение генераторов группы .....236
6.3.2. Группа симметрии: определение и основное свойство.........................236
6.3.3. Уравнения с заданной симметрией.........238
6.4. Интегрирование уравнений первого порядка
с использованием симметрий.................242
6.4.1. Интегрируюнщй множитель Ли...........242
6.4.2. Интегрирование с применением канонических переменных.......................244
6.4.3. Инвариантные решения................248
6.4.4. Общее решение, получаемое с помощь
инвариантных решений................249
6.5. Уравнения второго порядка.................250
6.5.1. Второе продолжение генераторов группы. Вычисление симметрий................250
6.5.2. Алгебры Ли ......................254
6.5.3. Стандартные формы двумерной алгебры Ли ... . 256
6.5.4. Метод интегрирования С. Ли.............256
6.5.5. Интегрирование линейных уравнений
с известными частными решениями.............263
6.5.6. Тест линеаризации Софуса Ли............265
6.6. Уравнения высокого порядка.................270
6.6.1. Инвариантные решения. Подход Эйлера
к дифференцированию................270
6.6.2. Интегрирующий множитель
(Н.Х.Ибрагимов, 2006)................ 272
6.6.3. Линеаризация уравнений третьего порядка .... 281
6.7. Нелинейная суперпозиция ..................289
6.7.1. Введение........................289
6.7.2. Основная теорема о нелинейной суперпозиции ... 291
6.7.3. Примеры нелинейной суперпозиции.........297
6.7.4. Интегрирование систем с применением нелинейной суперпозиции......................306
Задачи к главе 6...........................308
Глава 7. Нелинейные дифференциальные уравнения
с частными производными 311
7.1. Симметрии...........................311
7.1.1. Определение и вычисление групп симметрии . . . 312
7.1.2. Групповые преобразования решений........317
7.2. Групповые инвариантные решения.............319
7.2.1. Введение........................319
7.2.2. Уравнение Бюргерса .................320
7.2.3. Нелинейная задача с граничными условиями . . . 323
7.2.4. Инвариантные решения для ирригационных систем 326
7.2.5. Инвариантные решения для модели роста опухоли 328
7.2.6. Пример из нелинейной оптики............330
7.3. Инвариантность и законы сохранения ............332
7.3.1. Введение........................332
7.3.2. Предварительные замечания.............336
7.3.3. Теорема Нётер.....................337
7.3.4. Лагранжианы высокого порядка...........338
7.3.5. Теоремы сохранения для ОДУ............339
7.3.6. Обобщение теоремы Нётер...............340
7.3.7. Примеры из классической механики ........342
7.3.8. Вывод формулы Эйнштейна для энергии......345
7.3.9. Законы сохранения для уравнений Дирака .... 346
Задачи к главе 7...........................347
Глава 8. Обобщенные функции или распределения 351
8.1. Введение в обобщенные функции..............351
8.1.1. Эвристическое обсуждение..............352
8.1.2. Определение и примеры распределений.......353
8.1.3. Представления дельта-функции как предела.......355
8.2. Действия с распределениями.................356
8.2.1. Умножение на функцию...............356
8.2.2. Дифференцирование .................356
8.2.3. Прямое произведение распределений........357
8.2.4. Свертка.........................357
8.3. Распределение ....................359
8.3.1. Главное значение над сферой ............359
8.3.2. Решение уравнения Лапласа ......360
8.3.3. Вычисление распределения ........361
8.4. Преобразования распределений...............362
8.4.1. Мотивировка линейных преобразований......363
8.4.2. Замена переменных в дельта-функции ..........364
8.4.3. Произвольная группа преобразований .......364
8.4.4. Инфинитезимальное преобразование распределений.....................365
Задачи к главе 8...........................366
Глава 9. Принцип инвариантности и фундаментальные
решения 368
9.1. Введение............................368
9.2. Принцип инвариантности...................369
9.2.1. Формулировка принципа инвариантности.....369
9.2.2. Фундаментальное решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами ...........370
9.2.3. Приложение к уравнению Лапласа.........370
9.2.4. Приложение к уравнению теплопроводности .... 373
9.3. Задача Коши для уравнения теплопроводности......375
9.3.1. Фундаментальное решение задачи Коши......375
9.3.2. Получение фундаментального решения задачи
Коши из принципа инвариантности.........376
9.3.3. Решение задачи Коши.................378
9.4. Волновое уравнение......................379
9.4.1. Предварительные сведения о дифференциальных формах.........................379
9.4.2. Дополнительные уравнения с распределениями . . 383
9.4.3. Симметрии и определение фундаментальных решений для волнового уравнения..........385
9.4.4. Вывод фундаментального решения.........387
9.4.5. Решение задачи Коши.................389
9.5. Уравнения с переменными коэффициентами........389
Задачи к главе 9...........................390
Курс "Дифференциальные уравнения". В помощь
студенту 392
Список литературы 408
Предметно-именной указатель 414
