Козлов М. В., Прохоров А. В. Введение в математическую статистику.— М.: Изд-во МГУ, 1987. —264 с.
Книга предназначена для начального изучения математической статистики. Основные понятия, задачи и методы математической статистики вводятся на примере простых статистических моделей. Значительное внимание уделено, с одной стороны, численным и графическим иллюстрациям, с другой — логическим основам математической статистики.
Для студентов университетов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Механика».
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............... 6
Глава I. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ: НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ............... 8
§ 1. Вероятность и частота............ 8
1. Введение. 2. Таблица случайных чисел. 3. Парадокс де Мере. 4. Общая вероятностная модель. 5. Закон больших чисел
§ 2. Эмпирическое распределение вероятностей....... 15
1. Эмпирическое распределение дискретной случайной величины.
2. Эмпирическая функция распределения. 3. Статистика Колмогорова. 4. Выборочные среднее и дисперсия.
§ 3. Порядковые статистики в задачах оценивания......22
I. Порядковые статистики. 2. Оценивание содержимого урны.
3. Оценка параметра равномерного распределения. 4. Оценивание параметра сдвига экспоненциального распределения. 5. Доверительный интервал. 6. Выборочные квантили. 7. Равномерное распределение. 8. Доверительные интервалы для квантилей. 9. Совместное распределение пары порядковых статистик.
§ 4. Параметры савига и масштаба: графический анализ .... 31 1. Семейство сдвига-масштаба. 2. Вероятностная бумага. 3. Примеры графического анализа.
§ 5. Экспоненциальное распределение и пуассоновскии процесс 36
1. Экспоненциальное распределение. 2. Пуассоновский процесс. 3. Условное распределение точек пуассоновского процесса, 4, Пример.
§ 6. Оценивание параметров экспоненциального распределения ... 44 1. Оценивание параметра сдвига при известном параметре масштаба. 2. Оценивание параметра масштаба при известном параметре сдвига. 3. Точечные оценки ц и о. 4. Распределение интервалов между порядковыми статистиками. 5. Дисперсии несмещенных оценок ; интервальное оценивание 6. Оценивание по первым г порядковым статистикам.
§ 7. Сведения о важнейших непрерывных распределениях в R. 51
1. Гамма-распределение. 2. Экспоненциальное распределение. 3. Нормальное распределение. 4. Распределение с я степенями свободы. 5. Бета-распределение. 6. Равномерное распределение. 7. Распределение Фишера, или f-распределенис. 8. Распределение Стьюдента, или хи-распределение.
§ 8. Нормальное распределение: оценивание параметров, сравнение
двух выборок...............58
1. Доверительные оценки для и о^ когда один из параметров известен. 2. Несмещенная оценка дисперсии. 3. Доверительные интервалы для когда оба параметра неизвестны. 4. Сравнение дисперсии в двух выборках. 5. Задача сравнения средних 6. Пример.
Глава II. ЛИНЕЙНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 69
§ 9. Оценивание коэффициентов линейной модели......69
1. Введение. 2. Примеры линейных моделей. 3. Линеиная статистическая модель. 4. Несмещенные оценки с минимальной дисперсией:
матрица полного ранга. 5. Наилучшие оценки в случае матрицы неполного ранга. 6. Пример: модель с матрицей' неполного ранга. 7. Наилучшие оценки как оценки наименьших квадратов
§ 10. Ковариации, каноническая форма линейной модели, обобщения 80
I. Матрицы из случайных элементов. 2. Матрица ковариаций.
3. Ковариации наилучших оценок. 4. Пример оптимального выбора матрицы модели. 5. Каноническая форма линейной модели. 6. Оценивание дисперсии. 7. Обобщенная линейная модель
§ 11. Порядковые линейные оценки для параметров сдвига и масштаба 89
1. Обобщенная- линейная модель для семейства сдвига-масштаба.
2. Наилучшие несмещенные оценки. Симметричное распределение.
4. Пример: равномерное распределение на интервале .
5. Пример: экстоненциальиое распределение. 6. Пример: нормальное распределение. 7. Цензурированная выборка. 8. Упрощенные линейные оценки.
§ 12. Многомерное нормальное распределение . ..... 101
1. Невырожденное нормальное распределение. 2. Случайные векторы с вырожденной матрицей ковариаций. 3. Вырожденное нормальное распределение. 4. Распределение проекций стандартного нормального вектора.
§ 13. Доверительное оценивание и проверка гипотез в линейной модели
с нормальными наблюдениями ........ 109
1. Распределение вектора оценок. 2. Доверительные области для параметров и параметрических функций. 3. Проверка гипотез с помощью доверительных эллипсоидов. 4. Пример: сравнение средних в нескольких нормальных выборках.
Глава III. ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ.......116
§ 14. Статистическая модель, подобные статистики...... 116
1. Статистическая модель. 2. Подобные статистики.
§ 15. Достаточные статистики в дискретной модели......120
1. Введение. 2. Примеры. Э. Достаточные статистики: определение. 4. Критерий достаточности. 5. Достаточные и минимальные достаточные разбиения.
§ 16. Достаточные статистики в непрерывной модели.....133
1. Примеры достаточных статистик. 2. Определение достаточной статистики, теорема факторизации. 3. Экспоненциальные семейства, минимальная достаточность.
§ 17. Достаточность и несмещенное оценивание ........ 152
1. Полные достаточные статистики. 2. Наилучшие несмещенные оценки в дискретной модели. 3. Наилучшие несмещенные оценки в непрерывной модели.
§ 18. Информация в статистике...........168
1. Байесовский подход в статистике. 2. Информация по Шеннону.
3. Информация по Кульбаку. 4. Информация по Фишеру.
§ 19. Hepавенстьвo Фреше—Рао—Крамера........,185
1. Скалярный параметр. 2. Векторный параметр. 3. Границы дисперсии при нарушении условий регулярности.
Глава IV. ПРАВДОПОДОБИЕ...........198
§ 20. Метод максимума правдоподобия.........198
1. Функция правдоподобия. 2. Оценки максимального правдоподобия. 3. Метод Монте-Карло в модели сдвига-масштаба.
§ 21. Критерий отношения правдоподобий.........211
I. Проверка статистических гипотез. 2. Лемма Неймана—Пирсона. 3. Примеры. Равномерно наиболее мощные критерии. 4. Близкие гипотезы, 5, Сложные гипотезы.
§ 22. Последовательный критерий отношения правдоподобий ... 226
1. Метод последовательного статистического анализа. 2. Последовательный критерий отношения правдоподобий, 3. Среднее число наблюдений в последовательном критерии.
Глава V. БОЛЬШИЕ ВЫБОРКИ..........235
§ 23, Асимптотические свойства оценок.........235
1. Состоятельность. 2. Состоятельность оценок максимального правдоподобия. 3. Асимптотическая нормальность. 4. Преобразование статистик. 5. Асимптотическая нормальность выборочных квантилей.
6. Асимптотическая нормальность оценок максимума правдоподобия.
7. Асимптотическая эффективность оценок максимума правдоподобия. 8. Асимптотическая достаточность. 9. Векторный параметр. 10. Оценивание параметров сдвига и масштаба.
§ 24. Асимптотические свойства критерия отношения правдоподобий 266
1. Скалярный параметр. 2. Векторный параметр. 3. Полиномиальное распределение.
Литература.....................264
