Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. ( В 3-х томах ). - М.; т.1 - 2003, 704с.
Том1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной.
Оглавление
Предисловие .............3
Введение ...............7
Глава 1
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 1. Множества и функции. Логические символы.........13
1.1. Множества. Операции над множествами........13
1.2*. Функции............................................................................16
1.3*. Конечные множества и натуральные числа.
Последовательности..........................................................22
1.4. Группировки элементов конечного множества....................29
1.5. Логические символы............................................................33
§ 2. Действительные числа..............................................................35
2.1. Свойства действительных чисел..........................................35
2.2*. Свойства сложения и умножения......................................39
2.3*. Свойства упорядоченности................................................47
2.4*. Свойство непрерывности действительных чисел................51
2.5*. Сечения в множестве действительных чисел....................52
2.6*. Рациональные степени действительных чисел..................58
2.7. Формула бинома Ньютона....................................................60
§ 3. Числовые множества................................................................63
3.1. Расширенная числовая прямая............................................63
3.2. Промежутки действительных чисел. Окрестности..............64
3.3. Ограниченные и неограниченные множества......................68
3.4. Верхняя и нижняя грани числовых множеств....................70
3.5*. Арифметические свойства верхних и нижних граней ... 75
3.6. Принцип Архимеда..............................................................78
3.7. Принцип вложенных отрезков............................................80
3.8*. Единственность непрерывного упорядоченного поля .... 85
§ 4. Предел числовой последовательности......................................92
4.1. Определение предела числовой последовательности..........92
4.2. Единственность предела числовой последовательности . . . 100
4.3. Переход к пределу в неравенствах......................................101
4.4. Ограниченность сходящихся последовательностей............107
4.5. Монотонные последовательности........................................108
4.6. Теорема Больцано—Вейерштрасса......................................113
4.7. Критерий Коши сходимости последовательности................115
4.8. Бесконечно малые последовательности..............................118
4.9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями..............................120
4.10. Изображение действительных чисел
бесконечными десятичными дробями..............................133
4.11*. Счетные и несчетные множества......................................141
4.12*. Верхний и нижний пределы последовательности............149
§ 5. Предел и непрерывность функций............................................153
5.1. Действительные функции....................................................153
5.2. Способы задания функций..................................................156
5.3. Элементарные функции и их классификация....................160
5.4. Первое определение предела функции................................162
5.5. Непрерывные функции........................................................172
5.6. Условие существования предела функции..........................177
5.7. Второе определение предела функции................................179
5.8. Предел функции по объединению множеств ......................184
5.9. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. . . 185
5.10. Свойства пределов функций..............................................189
5.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции..........194
5.12. Различные формы записи непрерывности
функции в точке................................................................197
5.13. Классификация точек разрыва функции..........................202
5.14. Пределы монотонных функций..........................................204
5.15. Критерий Коши существования предела функции............210
5.16. Предел и непрерывность композиции функций................212
§ 6. Свойства непрерывных функций на промежутках ..................216
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений....................................................216
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций............218
6.3. Обратные функции..............................................................221
6.4. Равномерная непрерывность. Модуль непрерывности .... 228
§ 7. Непрерывность элементарных функций....................................235
7.1. Многочлены и рациональные функции..............................235
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции. . 236
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции..............................................................................246
7.4. Непрерывность элементарных функций..............................248
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов..............................248
8.1. Некоторые замечательные пределы....................................248
8.2. Сравнение функций............................................................253
8.3. Эквивалентные функции....................................................264
8.4. Метод выделения главной части функции и его
применение к вычислению пределов..................................267
§ 9. Производная и дифференциал......................... 271
9.1. Определение производной.......................... 271
9.2. Дифференциал функции........................... 274
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала ...280
9.4. Физический смысл производной и дифференциала............284
9.5. Правила вычисления производных, связанные
с арифметическими действиями над функциями................288
9.6. Производная обратной функции..........................................291
9.7. Производная и дифференциал сложной функции..............294
9.8. Гиперболические функции и их производные....................301
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков................304
10.1. Производные высших порядков........................................304
10.2. Производные высших порядков суммы и произведения функций............................................................................306
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически................................................................308
10.4. Дифференциалы высших порядков..................................311
§ 11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций............313
11.1. Теорема Ферма..................................................................313
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях . . 316
§ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя..............327
12.1. Неопределенности вида Ц..................................................328
12.2. Неопределенности вида —................................................330
12.3. Обобщение правила Лопиталя............................................337
§ 13. Формула Тейлора....................................................................339
13.1. Вывод формулы Тейлора....................................................339
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки .... 344
13.3. Формулы Тейлора для основных элементарных
функций............................................................................347
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
(метод выделения главной части)......................................351
§ 14. Исследование поведения функций..........................................353
14.1. Признак монотонности функции......................................353
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений
функции............................................................................356
14.3. Выпуклость и точки перегиба............................................365
14.4. Асимптоты........................................................................374
14.5. Построение графиков функций ........................................377
§ 15. Векторная функция................................................................387
15.1. Понятие предела и непрерывности для векторной
функции............................................................................387
15.2. Производная и дифференциал векторной функции..........391
§ 16. Длина кривой................ ............................................397
16.1. Понятие пути....................................................................397
16.2. Понятие кривой................................................................401
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых.
Неявное задание кривых....................................................408
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной векторной функции......................................411
16.5. Длина кривой....................................................................415
16.6. Плоские кривые................................................................423
16.7. Физический смысл производной векторной функции ... 425
§ 17. Кривизна и кручение кривой..................................................426
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости....................................................426
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление..............430
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость ..............434
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой ..................................436
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой .... 437
17.6. Эвольвента..........................................................................444
17.7. Кручение пространственной кривой..................................447
17.8. Формулы Френе................................................................448
17.9. Формулы для вычисления кручения................................451
Глава 2 Интегральное исчисление функций одной переменной
§ 18. Определения и свойства неопределенного интеграла..............453
18.1. Первообразная и неопределенный интеграл......................453
18.2. Основные свойства интеграла............................................456
18.3. Табличные интегралы........................................................458
18.4. Интегрирование подстановкой (замена переменной) .... 461
18.5. Интегрирование по частям................................................464
18.6*. Обобщение понятия первообразной..................................467
§ 19. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах . . 473
19.1. Комплексные числа............................................................473
19.2*. Формальная теория комплексных чисел..........................481
19.3. Некоторые понятия анализа в области комплексных
чисел..................................................................................482
19.4. Разложение многочленов на множители............................486
19.5*. Наибольший общий делитель многочленов......................490
19.6. Разложение правильных рациональных дробей
на элементарные................................................................495
§ 20. Интегрирование рациональных дробей..................................503
20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей . . . 503
20.2. Общий случай....................................................................506
20.3*. Метод Остроградского......................................................508
§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей....................514
21.1. Предварительные замечания............................................514
21.2. Интегралы вида . . . . 515
21.3. Интегралы вида
Подстановки Эйлера..........................................................518
21.4. Интегралы от дифференциальных биномов......................522
21.5. Интегралы вида .............................................524
§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций .... 526
22.1. Интегралы виды j.R(sin х, cos х) dx......................................526
22.2. Интегралы вида Jsinm х cos" х dx........................................528
22.3. Интегралы вида Jsin ах cos (3х dx........................................530
22.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям. . 530
22.5. Интегралы вида Ji2(sh х, ch х) dx........................................532
22.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции....................................................532
§ 23. Определенный интеграл..........................................................533
23.1. Определение интеграла Римана........................................533
23.2*. Критерий Коши существования интеграла......................539
23.3. Ограниченность интегрируемой функции........................541
23.4. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу................................................................543
23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости . . 547
23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций . 548
23.7*. Критерии интегрируемости Дарбу и Римана..................551
23.8*. Колебания функций........................................................556
23.9*. Критерий интегрируемости Дюбуа-Реймона....................563
23.10*. Критерий интегрируемости Лебега................................566
§ 24. Свойства интегрируемых функций..........................................570
24.1. Свойства определенного интеграла....................................570
24.2. Первая теорема о среднем значении для определенного интеграла..........................................................................583
§ 25. Определенный интеграл с переменными пределами
интегрирования......................................................................587
25.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу интегрирования................................................................587
25.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу интегрирования. Существование первообразной
у непрерывной функции....................................................588
25.3. Формула Ньютона—Лейбница..........................................591
25.4*. Существование обобщенной первообразной. Формула
Ньютона—Лейбница для обобщенной первообразной ......592
§ 26. Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования
по частям..................................................................................596
26.1. Замена переменной............................................................596
26.2. Интегрирование по частям................................................600
26.3*. Вторая теорема о среднем значении для определенного
интеграла........................................................................603
26.4. Интегралы от векторных функций....................................606
§ 27. Мера плоских открытых множеств..........................................608
27.1. Определение меры (площади) открытого множества .... 608
27.2. Свойства меры открытых множеств..................................612
§ 28. Некоторые геометрические и физические приложения
определенного интеграла........................................................618
28.1. Вычисление площадей......................................................618
28.2*. Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ... 625
28.3. Объем тела вращения........................................................630
28.4. Вычисление длины кривой................................................632
28.5. Площадь поверхности вращения......................................637
28.6. Работа силы........................................................................640
28.7. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой..................................................................641
§ 29. Несобственные интегралы......................................................644
29.1. Определение несобственных интегралов............................644
29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов..........................................................................652
29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 657
29.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов . 665
29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы....................................666
29.6. Исследование сходимости интегралов................................671
29.7. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования................................................677
Предметно-именной указатель................................................685
Указатель основных обозначений............................................695
Часть 1
Часть 2
