Курант Р. Уравнения с частными производными. - М., 1964.
В настоящем томе, совершенно независимом от первого, излагается теория дифференциальных уравнений с частными производными с точки зрения математической физики. Более короткий третий том будет посвящен вопросам существования решений и построения решений с помощью конечно-разностных и других методов.
Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к русскому изданию 9
Предисловие 11
Глава I. Вводные замечания 15
§ 1. Общие сведения о совокупности решений 16
1. Примеры 16
2. Дифференциальные уравнения заданных семейств функций 21
§ 2. Системы дифференциальных уравнений 24
1. Вопрос об эквивалентности системы дифференциальных уравнений 24
2. Исключение неизвестных из линейной системы с постоянными 27
коэффициентами
3. Определенные, переопределенные, недоопределенные системы 28
§ 3. Методы интегрирования некоторых специальных дифференциальных 30
уравнений
1. Разделение переменных 30
2. Построение других решений посредством суперпозиции, 32
фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл
Пуассона
§ 4. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого 34
порядка с двумя независимыми переменными. Полный интеграл
1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого 34
порядка
2. Полный интеграл 36
3. Особые интегралы 37
4. Примеры 38
§ 5. Теория линейных и квазилинейных уравнений первого порядка 40
1. Линейные дифференциальные уравнения 40
2. Квазилинейные дифференциальные уравнения 42
§ 6. Преобразование Лежандра 43
1. Преобразование Лежандра для функций двух переменных 43
2. Преобразование Лежандра для функций п переменных 46
3. Применение преобразования Лежандра к дифференциальным 46
уравнениям в частных производных
§ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 50
1. Введение и примеры 50
2. Сведение к системе квазилинейных дифференциальных уравнений 54
3. Определение производных вдоль начального многообразия 57
4. Доказательство существования решений аналитических 58
дифференциальных уравнений
4а. Замечание о линейных дифференциальных уравнениях 63
46. Замечание о неаналитических дифференциальных уравнениях 64
5. Замечания о критических начальных данных. Характеристики 64
Приложение 1 к главе I. Дифференциальное уравнение Лапласа для опорной 66
функции минимальной поверхности
Приложение 2 к главе I. Системы дифференциальных уравнений первого 67
порядка и дифференциальные уравнения высших порядков
1. Эвристические соображения 67
2. Условия эквивалентности системы двух уравнений в частных 68
производных первого порядка и дифференциального уравнения второго
порядка
Глава П. Общая теория дифференциальных уравнений с частными 71
производными первого порядка
§ 1. Геометрическая теория квазилинейных дифференциальных уравнений с 71
двумя независимыми переменными
1. Характеристические кривые 71
2. Задача Коши 73
3. Примеры 75
§ 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения с п независимыми 78
переменными
§ 3. Общие дифференциальные уравнения с двумя независимыми 84
переменными
1. Характеристические кривые и фокальные кривые. Конус Монжа 84
2. Решение задачи Коши 88
3. Характеристические кривые как элементы ветвления. Дополнительные 91
замечания. Интегральный коноид. Каустики
§ 4. Полный интеграл 93
§ 5. Фокальные кривые и уравнение Монжа 95
§ 6. Примеры 97
1. Дифференциальное уравнение световых лучей (gradwJ =1 97
2. Уравнение F(ux,uy) = 0 100
3. Дифференциальное уравнение Клеро 101
4. Дифференциальное уравнение трубчатых поверхностей 103
5. Соотношение однородности 104
§ 7. Общее дифференциальное уравнение с п независимыми переменными 105
§ 8. Полный интеграл и теория Гамильтона—Якоби 111
1. Построение огибающих и характеристические кривые 111
2. Канонический вид характеристических дифференциальных уравнений 113
3. Теория Гамильтона — Якоби 115
4. Пример. Задача двух тел 117
5. Пример. Геодезические на эллипсоиде 118
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 120
1. Дифференциальное уравнение Эйлера в каноническом виде 121
2. Геодезическое расстояние, или эйконал, и его производные. 123
Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби
3. Однородные подинтегральные функции 126
4. Поле экстремалей. Дифференциальное уравнение Гамильтона — 128
Якоби
5. Конус лучей. Конструкция Гюйгенса 132
6. Инвариантный интеграл Гильберта для представления эйконала 132
7. Теорема Гамильтона и Якоби 134
§ 10. Канонические преобразования и их приложения 135
1. Каноническое преобразование 135
2. Новое доказательство теоремы Гамильтона — Якоби 136
3. Вариация постоянных. (Теория канонических возмущений) 137
Приложение 1 к главе II 138
§ 1. Дальнейшее изучение характеристических многообразий 138
1. Замечания о дифференцировании в пространстве п измерений 138
2. Задача Коши. Характеристические многообразия 141
§ 2. Системы квазилинейных дифференциальных уравнений с одинаковой 146
главной частью. Новое построение теории
§ 3. Доказательство теоремы единственности Хаара 151
Приложение 2 к главе П. Теория законов сохранения 153
Глава Ш. Дифференциальные уравнения высших порядков 159
§ 1. Канонический вид линейных и квазилинейных дифференциальных 159
операторов второго порядка с двумя независимыми переменными
1. Эллиптический, гиперболический и параболический канонические 160
виды. Смешанные типы
2. Примеры 165
3. Канонический вид квазилинейных дифференциальных уравнений 168
второго порядка с двумя независимыми переменными
4. Пример. Минимальные поверхности 171
5. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка 173
§ 2. Общая классификация и характеристики 174
1. Обозначения 174
2. Системы первого порядка с двумя независимыми переменными. 175
Характеристики
3. Системы первого порядка с п независимыми переменными 177
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Гиперболичность 178
5. Дополнительные замечания 180
6. Примеры. Уравнения Максвелла и Дирака 180
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными 184
коэффициентами
1. Канонический вид и классификация уравнений второго порядка 184
2. Фундаментальные решения уравнений второго порядка 187
3. Плоские волны 190
4. Плоские волны (продолжение). Бегущие волны. Дисперсия 192
5. Примеры. Телеграфное уравнение. Неискажающиеся волны в кабелях 196
6. Цилиндрические и сферические волны 197
§ 4. Задача Коши. Задача излучения для волнового уравнения 200
1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Преобразование тета- 201
функции
2. Задача Коши для волнового уравнения 204
3. Принцип Дюамеля. Неоднородные уравнения. Запаздывающие 205
потенциалы
За. Принцип Дюамеля для систем первого порядка 208
4. Задача Коши для волнового уравнения в двумерном пространстве. 208
Метод спуска
5. Задача излучения 210
6. Явления распространения и принцип Гюйгенса 211
§ 5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 213
1. Метод Коши применения интеграла Фурье 213
2. Пример 215
3. Обоснование метода Коши 218
§ 6. Типичные задачи для уравнений математической физики 224
1. Вводные замечания 224
2. Основные принципы 228
3. Замечания о «некорректно поставленных» задачах 232
4. Общие замечания о линейных задачах 233
Приложение 1 к главе Ш 234
§ 1. Лемма Соболева 234
§ 2. Сопряженные операторы 236
1. Матричные операторы 236
2. Сопряженные дифференциальные операторы 238
Приложение 2 к главе Ш. Теорема единственности Гольмгрена 239
Глава IV. Теория потенциала и эллиптические дифференциальные уравнения 242
§ 1. Основные понятия 242
1. Уравнения Лапласа и Пуассона и связанные с ними уравнения 242
2. Потенциалы распределения масс 247
3. Формула Грина и ее применения 253
4. Производные потенциалов распределения масс 259
§ 2. Интеграл Пуассона и его приложения 262
1. Краевая задача и функция Грина 262
2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для шара и 265
полупространства
3. Следствия формулы Пуассона 269
§ 3. Теорема о среднем значении и ее приложения 276
1. Теорема о среднем значении для однородного и неоднородного 276
уравнения
2. Обращение теорем о среднем значении 277
3. Уравнение Пуассона для потенциалов пространственных 284
распределений
4. Теоремы о среднем значении для других эллиптических уравнений 286
§ 4. Краевая задача 290
1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость от граничных 290
значений и от области
2. Решение краевой задачи с помощью альтернирующего метода Шварца 293
3. Метод интегральных уравнений для плоских областей с достаточно 298
гладкой границей
4. Замечания о граничных значениях 302
4а. Емкость и выполнение граничных условий 304
5. Метод субгармонических функций Перрона 306
§ 5. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние 312
1. Предмет изложения 312
2. Условие излучения Зоммерфельда 313
3. Рассеяние 317
§ 6. Краевые задачи для более общих эллиптических уравнений. 319
Единственность решения
1. Линейные дифференциальные уравнения 319
2. Нелинейные уравнения 321
3. Теорема Реллиха для дифференциального уравнения Монжа—Ампера 322
4. Принцип максимума и его применения 324
§ 7. Априорные оценки Шаудера и их приложения 329
1. Оценки Шаудера 330
2. Решение краевой задачи 334
3. Сильные барьеры и их приложения 339
4. Некоторые свойства решений уравнения Ци\ = f 342
6. Дальнейшие результаты, касающиеся эллиптических уравнений; 345
поведение вблизи границы
§ 8. Решение уравнений Бельтрами 348
§ 9. Краевая задача для некоторого специального квазилинейного уравнения. 355
Метод неподвижной точки Лере — Шаудера
§ 10. Решение эллиптических дифференциальных уравнений с помощью 360
интегральных уравнений
1. Построение частных решений. Фундаментальные решения. 361
Параметрике
2. Дальнейшие замечания 365
Приложение к главе IV. Нелинейные уравнения 365
1. Теория возмущений 366
2. Уравнение Au = f(x,u) 367
Дополнение к главе IV. Теоретико-функциональная точка зрения на 372
эллиптические дифференциальные уравнения с частными
производными
§ 1. Определение псевдоаналитнческих функций 373
§ 2. Одно интегральное уравнение 375
§ 3. Принцип подобия 376
§ 4. Приложения принципа подобия 380
§ 5. Формальные степени 383
§ 6. Дифференцирование и интегрирование псевдоаналитических функций 384
§ 7. Пример. Уравнения смешанного типа 387
§ 8. Общее определение псевдоаналитических функций 389
§ 9. Квазиконформные отображения и общая теорема о представлении 390
§ 10. Одна нелинейная краевая задача 393
§11. Обобщение теоремы Римана об отображениях 397
§ 12. Две теоремы о минимальных поверхностях 398
§ 13. Уравнения с аналитическими коэффициентами 399
§ 14. Доказательство теоремы Привалова 400
§ 15. Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке 401
Глава V. Гиперболические дифференциальные уравнения с двумя 405
независимыми переменными
Введение 405
§ 1. Характеристики дифференциальных уравнений (в основном второго 406
порядка)
1. Основные понятия. Квазилинейные уравнения 406
2. Характеристики на интегральных поверхностях 412
3. Характеристики как линии разрыва. Фронт волны. Распространение 414
разрывов
4. Общие дифференциальные уравнения второго порядка 417
5. Дифференциальные уравнения высших порядков 419
6. Инвариантность характеристик при преобразовании координат 421
7. Сведение к квазилинейным системам первого порядка 421
§ 2. Характеристическая нормальная форма для гиперболических систем 422
первого порядка
1. Линейные, почти линейные и квазилинейные системы 422
2. Случай к=2. Линеаризация с помощью преобразования годографа 425
§ 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости 426
1. Одномерное изэнтропическое течение 427
2. Сферически симметричное течение 429
3. Стационарное безвихревое течение 430
4. Системы трех уравнений для неизэнтропического течения 431
5. Линеаризованные уравнения 433
§ 4. Единственность. Область зависимости 435
1. Области зависимости, влияния и определенности 435
2. Доказательство единственности для линейных дифференциальных 437
уравнений второго порядка
3. Общая теорема единственности для линейных систем первого порядка 442
4. Единственность для квазилинейных систем 445
5. Энергетические неравенства 446
§ 5. Представление решений в форме Римана 446
1. Задача Коши 447
2. Функция Римана 447
3. Симметрия функции Римана 451
4. Функция Римана и излучение из точки. Обобщение на задачи более 452
высокого порядка
5. Примеры 453
§ 6. Решение задачи Коши для линейных и почти линейных гиперболических 458
уравнений с помощью итераций'
1. Построение решения уравнения второго порядка 458
2. Обозначения и результаты для линейных и почти линейных систем 460
первого порядка
3. Построение решения 462
4. Замечания. Зависимость решений от параметров 467
5. Смешанные начальные и граничные задачи 467
§ 7. Задача Коши для квазилинейных систем 472
§ 8. Задача Коши для одного гиперболического дифференциального 474
уравнения высшего порядка
1. Сведение к характеристической системе первого порядка 476
2. Представление оператора Ци\ через характеристики 477
3. Решение задачи Коши 479
4. Другие варианты решения. Теорема П. Унгара 480
5. Замечания 482
§ 9. Разрывы решений. Ударные волны 482
1. Обобщенные решения. Слабые решения 482
2. Разрывы в квазилинейных системах, выражающих законы сохранения. 484
Ударные волны
Приложение 1 к главе V. Применение характеристик в качестве координат 487
§ 1. Дополнительные замечания относительно общих нелинейных уравне- 487
1. Квазилинейное дифференциальное уравнение 487
2. Общее нелинейное уравнение 491
§ 2. Исключительный характер уравнения Монжа-Ампера 492
§ 3. Переход в комплексной области от эллиптического оператора к 495
гиперболическому
§ 4. Аналитичность решений в эллиптическом случае 497
1. Замечание из теории функций 497
2. Аналитичность решения уравнения Аи = f(x, у, и, р, q) 497
3. Замечание об общем дифференциальном уравнении 511
F(x,y,u,p,q,r,s,t) = O
§ 5. Применение комплексных переменных для продолжения ре- 501
Приложение 2 к главе V. Нестационарные задачи и операционное 503
исчисление Хевисайда
§ 1. Решение нестационарных задач с помощью интегральных представлений 504
1. Пример явного решения. Волновое уравнение 504
2. Общая формулировка задачи 507
3. Интеграл Дюамеля 507
4. Метод суперпозиции экспоненциальных решении 510
§ 2. Операторный метод Хевисайда 513
1. Простейшие операторы 513
2. Примеры операторов и приложения 516
3. Приложение к уравнению теплопроводности 520
4. Волновое уравнение 522
5. Обоснование операторного исчисления 523
§ 3. Общая теория нестационарных задач 530
1. Преобразование Лапласа 530
2. Решение нестационарных задач с помощью преобразования Лапласа 533
3. Пример. Волновое и телеграфное уравнения 539
Глава VI. Гиперболические уравнения со многими независимыми 544
переменными
Введение 544
Часть I. Единственность, построение и геометрические свойства решений 545
§ 1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Геометрия 545
характеристик
1. Квазилинейные дифференциальные уравнения второго порядка 545
2. Линейные дифференциальные уравнения 550
3. Лучи или бихарактеристики 551
4. Характеристика как фронт волны 553
5. Инвариантность характеристик 555
6. Конус лучей, конус нормалей, коноид лучей 556
7. Связь с римановой метрикой 558
8. Двойственные преобразования 559
9. Построение фронта волны по Гюйгенсу 562
10. Поверхности пространственного типа. Направления временного типа 563
§ 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик 563
1. Разрывы второго порядка 564
2. Дифференциальное уравнение на характеристической поверхности 566
3. Распространение разрывов по лучам 567
4. Пример. Решение задачи Коши для волнового уравнения с тремя 569
пространственными переменными
§ 3. Геометрия характеристик для операторов высших порядков 571
1. Обозначения 571
2. Характеристические поверхности, формы и матрицы 573
3. Интерпретация характеристического уравнения во времени и 575
пространстве. Конус нормалей и поверхность нормалей.
Характеристические нуль-векторы и собственные значения
4. Построение характеристических поверхностей или фронтов. Лучи, 577
конус лучей, коноид лучей
5. Фронты волны и построение Гюйгенса. Поверхность лучей и 579
поверхность нормалей
5а. Пример 582
6. Свойства инвариантности 583
7. Гиперболичность. Многообразия пространственного типа, 583
направления временного типа
8. Симметрические гиперболические операторы 587
9. Симметрические гиперболические уравнения высших порядков 588
10. Кратные характеристические поверхности и приводимость 590
11. Лемма о бихарактеристических направлениях 591
§ За. Примеры. Гидродинамика, кристаллооптика, магнитная гидродинамика 593
1. Введение 593
2. Система дифференциальных уравнений гидродинамики 594
3. Кристаллооптика 597
4. Форма поверхности нормалей и поверхности лучей 599
5. Задача Коши для уравнений кристаллооптики 603
6. Магнитная гидродинамика 606
§ 4. Распространение разрывов и задача Коши 611
1. Введение 611
2. Разрывы первых производных для систем первого порядка. Уравнение 612
переноса
3. Разрывы начальных значений. Введение обобщенных функций. 614
Бегущие волны
4. Распространение разрывов для систем первого порядка 618
5. Характеристики постоянной кратности 620
5а. Примеры распространения разрывов вдоль многообразий более чем 621
одного измерения. Коническая рефракция
6. Устранение начальных разрывов и решение задачи Коши 622
6а. Характеристические поверхности как фронты волны 626
7. Решение задачи Коши с помощью сходящегося разложения на волны 626
8. Системы второго и высших порядков 626
9. Дополнительные замечания. Слабые решения. Ударные волны 628
§ 5. Колеблющиеся начальные значения. Асимптотическое разложение 629
решения. Переход к геометрической оптике
1. Предварительные замечания. Бегущие волны высшего порядка 629
2. Построение асимптотических решений 630
3. Геометрическая оптика 634
§ 6. Примеры теорем единственности и области зависимости для задачи 636
Коши
1. Волновое уравнение 636
2. Дифференциальное уравнение ип-Аи ut = 0 (уравнение Дарбу)
3. Уравнения Максвелла в вакууме 640
§ 7. Области зависимости для гиперболических задач 642
1. Введение 642,
2. Описание области зависимости 643
§ 8. Интегралы энергии и теоремы единственности для линейных 646
симметрических гиперболических систем первого порядка
1. Интегралы энергии и единственность решения задачи Коши 645
2. Интегралы энергии первого и высших порядков 647
3. Энергетические неравенства для смешанных задач 650
4. Интегралы энергии для одного уравнения второго порядка 654
§ 9. Энергетические оценки для уравнений высших порядков 656
1. Введение 656
2. Энергетические тождества и неравенства для решений 656
гиперболических уравнений высших порядков. Метод Лере и Гординга
3. Другие методы 660
§ 10. Теорема существования 663
1. Введение 663
2. Теорема существования 665
3. Замечания о сохранении свойств начальных значений и о 667
соответствующих полугруппах. Малый принцип Гюйгенса
4. Фокусирование. Пример несохранения дифференцируемое™ 669
5. Замечания о квазилинейных системах 670
6. Замечания о задачах высших порядков и о несимметрических системах 671
Часть П. Представление решений 672
§11. Введение 672
1. Общие понятия. Обозначения 672
2. Некоторые интегральные формулы. Разложение функций на плоские 673
волны
§ 12. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 677
1. Задача Коши 677
2. Построение решения для волнового уравнения 679
3. Метод спуска 682
4. Дальнейшее изучение решения. Принцип Гюйгенса 684
5. Неоднородное уравнение. Интеграл Дюамеля 687
6. Задача Коши для общего линейного уравнения второго порядка 688
7. Задача излучения 631
§ 13. Метод сферических средних. Волновое уравнение и уравнение Дарбу 694
1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений 691
2. Связь с волновым уравнением 696
3. Задача излучения для волнового уравнения 698
4. Обобщенные бегущие сферические волны 699
§ 13а. Решение задачи Коши для уравнения упругих волн с помощью 701
сферических средних:
§ 14. Метод плоских средних значений. Применение к общим 705
гиперболическим уравнениям с постоянными коэффициентами
1. Общий метод 706
2. Применение к решению волнового уравнения 710
§ 14а. Применение к уравнениям кристаллооптики и к другим уравнениям 719
четвертого порядка
1. Решение задачи Коши 719
2. Дальнейшее исследование решения. Область зависимости. Лакуны 717
§ 15. Решение задачи Коши как линейный функционал от начальных данных. 721
Фундаментальные решения
1. Описание. Обозначения 721
2. Построение функции излучения с помощью разложения 8-функции 724
3. Регулярность матрицы излучения 727
За. Обобщенный принцип Гюйгенса 729
4. Пример. Системы с постоянными коэффициентами частного вида. 730
Теорема о лакунах
5. Пример. Волновое уравнение 731
6. Пример. Теория Адамара для одного уравнения второго порядка 734
7. Дальнейшие примеры. Случай двух независимых переменных. 738
Замечания
§ 16. Ультрагиперболические дифференциальные уравнения и общие 738
дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
1. Общая теорема Асгейрссона о среднем значении 738
2. Другое доказательство теоремы о среднем значении 742
3. Применение к волновому уравнению 742
4. Решение характеристической задачи Коши для волнового уравнения 743
5. Другие приложения. Теорема о среднем значении для софокусных 745
эллипсоидов
§ 17. Задача Коши для многообразий непространственного типа 747
1. Функции, определенные с помощью средних значений по сферам с 747
центрами на некоторой плоскости
2. Приложения к задаче Коши 749
§ 18. Замечания о бегущих волнах, передаче сигналов и принципе Гюйгенса 753
1. Неискажающиеся бегущие волны 753
2. Сферические волны 755
3. Излучение и принцип Гюйгенса 757
Приложение к главе VI. Обобщенные функции или распределения 758
§ 1. Основные определения и понятия 758
1. Введение 758
2. Идеальные элементы 759
3. Обозначения и определения 761
4. Повторное интегрирование 761
5. Линейные функционалы и операторы. Билинейная форма 762
6. Непрерывность функционалов. Носители основных функций 763
7. Лемма об г-непрерывности 765
8. Некоторые вспомогательные функции 765
9. Примеры 766
§ 2. Обобщенные функции 767
1. Введение 767
2. Определение с помощью линейных дифференциальных операторов 768
3. Определение с помощью слабых пределов 770
4. Определение с помощью линейных функционалов 771
5. Эквивалентность. Представление функционалов 772
6. Некоторые выводы 774
7. Пример. Дельта-функция 775
8. Отождествление обобщенных и обыкновенных функций 776
9. Определенные интегралы. Конечные части 779
§ 3. Операции над обобщенными функциями 782
1. Линейные процессы 789
2. Замена независимых переменных 783
3. Примеры. Преобразование дельта-функции 783
4. Умножение и свертка обобщенных функций 7У5
§ 4. Дополнительные замечания. Модификации теории 786
1. Введение 786
2. Различные пространства основных функций. Пространство о. 786
Преобразования Фурье
3. Периодические функции 788
4. Обобщенные функции и гильбертовы пространства. Негативные 790
нормы. Сильные определения
5. Замечание о других классах обобщенных функций 791
Библиография 743
