Лавров И. А. Математическая логика : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / И.А.Лавров; под ред. Л.Л. Максимовой. — М., 2006. — 240 с. — (Университетский учебник. Сер. Прикладная математика и информатика).
В учебном пособии изложены основы современного подхода к изучению математических теорий с привлечением логических понятий и методов, а также концепция программы Д. Гильберта о построении математических теорий аксиоматическим путем. Рассмотрены аксиоматические теории для множеств натуральных и действительных чисел и для геометрии.
Для студентов высших учебных заведений.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................................................... 3
Введение. Программа Д. Гильберта построения аксиоматических теорий.........4
ЧАСТЬ I СЕМАНТИКА
Глава 1. Алгебраические системы...............................16
1.1. Множествам предикаты..........................................16
1.2. Функции и взаимно-однозначные соответствия....................21
1.3. Алгебраические системы.........................................27
Глава 2. Логические системы............................................31
2.1. Алгебра высказываний.............................................31
2.2. Логические эквивалентности в АВ................................38
2.3. Алгебра предикатов и функций.....................................46
2 4. Логические эквивалентности в АПФ..................................52
Глава 3. Классические алгебраические системы...........................56
3.1. Модель для множеств.................................................56
3.2. Операции над множествами..........................................63
3.3. Натуральные числа.........................................68
3.4. Целые и рациональные числа.......................................72
3.5. Действительные и комплексные числа...............................78
3.6. Арифметика кардинальных чисел.........................................86
Глава 4. Системы из общей алгебры и геометрии...........................92
4.1. Частичные порядки........................................92
4.2. Линейные и полные порядки..........................................97
4.3. Теорема Цермело...........................................................ЮЗ
4.4. Алгебраические операции ..............................................108
4.5. Геометрические модели...................................................114
ЧАСТЬ II СИНТАКСИС
Глава 5. Построение логических исчислений........................................121
5.1. Язык и формулы исчислений............................................121
5.2. Выводимость формул в исчислениях..................................124
Глава 6. Исчисление высказываний...........................................131
6.1. Построение исчисления высказываний..............................131
6.2. Теорема о дедукции для ИВ..........................................135
6.3. Введение новых логических символов..................................139
6.4. Теорема адекватности для ИВ........................................142
Глава 7. Исчисление предикатов и функций................................147
7.1. Построение исчисления предикатов и функций..........................147
7.2. Теорема о дедукции для ИПФ.........................................151
7.3. Пренексная нормальная форма..........................................156
ЧАСТЬ III. СВЯЗЬ СЕМАНТИКИ И СИНТАКСИСА
Глава 8. Интерпретации и семантики для исчислений..........................161
8.1. Семантика формул.....................................................161
8.2. Метасвойства исчислений...........................................163
Глава 9. Интерпретации для ИВ............................................168
9.1. Семантики для ИВ....................................................168
9.2. Метасвойства ИВ.................................................172
Глава 10. Интерпретации для ИПФ.........................................177
10.1. Выполнимость формул ИПФ.........................................177
10.2. Выполнимость множеств формул ИПФ............................182
10.З. Теорема Геделя о выполнимости.....................................186
10.4. Метасвойства ИПФ..................................................189
ЧАСТЬ IV. КЛАССИЧЕСКИЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
Глава 11. Теория множеств...............................................194
11.1. Элементарные теории...............................................194
11.2. Теория множеств ZF..................................................198
Глава 12. Числовые теории..........................................206
12.1. Арифметика Пеано.................................................206
12.2. Другие числовые теории............................................213
Глава 13. Геометрические теории..........................................219
13.1. Аксиомы Д.Гильберта для геометрий..................................219
13.2. Аксиомы А.Тарского для элементарной планиметрии..................227
Список литературы........................................................230
Предметный указатель....................................................231
