Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа

Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа: Учебное пособие.— М.: Высш. школа, 1982. —271 с., ил.
Книга написана в соответствии с программой по курсу функционального анализа для университетов. Изложение материала ведется на высоком методическом и научном уровне, рассматривается широкий круг вопросов, имеется большое число интересных примеров и приложений.
Предназначается для студентов университетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.... 5
Глава I. Необходимые сведения из анализа, алгебры и топологии .... 6
§ 1.Функциональная зависимость. Пространство. Упорядоченность...6
§ 2. Мера и интеграл Лебега................... 9
§ 3. Линейные пространства.................... 16
§ 4.Метрические пространства .................. 23
§ 5.Примеры метрических пространств.............. 27
§ 6.Полные пространства. Полнота некоторых конкретных пространств. Пополнение метрических пространств......... 33
§ 7. Теоремы о полных пространствах. Принцип сжимающих отображений ......... 40
§ 8. Сепарабельные пространства................. 46
§ 9. Компактные множества в метрических пространствах..... 48
§ 10. Топологические пространства................. 54
Глава II. Линейные нормированные и линейные топологические пространства .......... 63
§ 1.Линейные нормированные пространства ............ 63
§ 2.Компактные множества в линейных нормированных пространствах 70
§ 3.Абстрактное гильбертово пространство............. 77
§ 4.Линейные топологические пространства ............ 85
Упражнения.............................. 96
Глава III. Линейные операторы.................... 98
§ 1. Линейные операторы в линейных топологических пространствах.... 98
§ 2. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах.... 105
§ 3. Линейные функционалы.......... 111
§ 4. Пространство линейных непрерывных операторов........ 113
§ 5. Обратные операторы и теорема Банаха о гомеоморфизме .... 118
§ 6. Теоремы о замкнутом графике и об открытом отображении ... 125
§ 7. Пространство Банаха с базисом................ 127
Упражнения.............................. 133
Глава IV. Линейные функционалы................... 134
§ 1. Теорема Банаха — Хана и ее следствия............ 134
§ 2. Отделение выпуклых множеств................. 140
§ 3. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах ......... 144
§ 4. Сопряженные пространства и сопряженные операторы..... 155
§ 5. Слабая сходимость ...................... 165
§ 6. Универсальность пространства С [0, 1]............. 172
Упражнения............................ 176
Глава V. Вполне непрерывные операторы и уравнения с ними...... 177
§ 1. Вполне непрерывные операторы................ 177
§ 2. Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными oneраторами.................. 182
§ 3. Принцип неподвижной точки Шаудера и его применения ....... 190
Упражнения.............................. 195
Глава VI. Элементы дифференциального и интегрального исчислений в линейных нормированных пространствах............ 196
§ 1. Дифференциал и производная Фреше.............. 196
§ 2. Производная Гато....................... 201
§ 3. Теорема о локальном обращении дифференцируемого отображения. Метод Ньютона............ 207
§ 4. Производные высших порядков. Формула Тейлора....... 213
§ 5. Теорема о неявной функции и ее приложения......... 217
§ 6. Касательные многообразия и задачи на экстремум....... 221
§ 7. Интегрирование абстрактных функций............. 227
Упражнения.............. 236
Глава VII. Элементы спектральной теории ограниченных самоспряженных операторов в гильбертовом пространстве........ 237
§ 1. Самосопряженные операторы................ 237
§ 2. Унитарные и проекционные операторы........ 240
§ 3. Положительные операторы. Квадратный корень из положительного оператора.............. 244
§ 4. Спектр самосопряженного оператора.............. 247
§ 5. Спектральное разложение самосопряженного оператора...... 253
Дополнения......... 263
Литература .............................. 267
Предметный указатель............ 268

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗