Пензов Ю.П. Элементы математической логики и теории множеств. - Саратов, Изд. Саратовского ун-та, 1968. -144 с.
Настоящая книга является обработкой лекций, которые автор читал в Саратовском университете в 1962—66 гг. В § 1 вводятся основные понятия теории множеств. В § 2 и § 3 излагаются элементы содержательного исчисления высказываний и предикатов. Формальное исчисление высказываний и предикатов не затрагивается. В § 4 и §5 логика предикатов применяется для построения начал алгебры подмножеств и теории бинарных отношений. В § 6 на основе теории бинарных отношений излагаются начальные сведения по теории отображений и преобразований множеств. Каждый параграф книги снабжен упражнениями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................4
1. Основные понятия теории множеств. Множества. Равенство и включение множеств.....4
2. Подмножество. Дополнение подмножества. Пересечение и объединение подмножеств........ 6
3. Упорядоченные системы элементов ..............8
4. Декартово произведение множеств ............9
5. Арифметическое пространство n измерений ......... 10
6. n-отношение ...................13
7. Функция.................. 14
8. Отображение множества на множество. Взаимно-однозначное отображение ..............17
Упражнения ............. 18
2. Алгебра высказываний
1. Логические операции над высказываниями ......20
2. Составные высказывания........24
3. Формулы и тавтологии ......24
4. Некоторые основные тавтологии 27
5. Равносильные формулы.......32
6. О методах математических доказательств 33
Упражнения .....34
3.Логика предикатов
1. Понятие предиката...... 39
2. Равносильные предикаты. Следствие предиката.......41
3. Тождественно истинный, тождественно ложный и выполнимый предикаты......................42
4. Множество истинности предиката. Классификатор ...... 43
5. Предикаты и пропозиционные функции........... 45
6. Простейшие логические операции над предикатами .......... 46
7. Логические операции квантификации .............52
8. Высказывания как 0-местные предикаты . .......... 58
9. Формулы и тавтологии.......59
10. Некоторые тавтологии с кванторами ............. 61
11. Квантор существования и единственности ....... . 67
12. Применение логики предикатов в математических науках. Понятие о правилах вывода.......68
Упражнения.............71
4. Применение логики предикатов к алгебре подмножеств
1. Равенство и включение подмножеств........ . 76
2. Основные свойства операций дополнения, пересечения и объединения.................77
3. Объединение и пересечение совокупности подмножеств и семейства подмножеств ............. 80
Упражнения................... 85
5. Элементы теории бинарных отношений
1. Простейшие понятия ......88
2. Проекции бинарного отношения ......... 91
3. Обратное бинарное отношение . . ....... . 94
4. Срез бинарного отношения............ . 96
5. Умножение бинарных отношений............101
6. Рефлексивные, симметричные и транзитивные бинарные отношения 105
7. Отношения эквивалентности и разбиения множества» Ядро отображения ............... .108
Упражнения ....................112
6. Частичные отображения и частичные преобразования множеств
1. Частичное отображение и частичное преобразование .....116
2. Образ и прообраз подмножества. Полный прообраз элемента .....119
3. Частичное-взаимно-однозначное отображение и частичное взаимно-однозначное преобразование ......122
4. Произведение частичных отображений и частичных преобразований ................. 125
5. Частичные преобразования в Rn. ........129
Дополнение ......... .... .130
Упражнения.....................132
Ответы и решения......... 136
Примечания........... 141
Литература............. 141
