Рудин У. Функциональный анализ /Пер. с англ. В.Я. Лина. Под ред. Е. А. Горина. - М., 1975. - 444 с.
Книга принадлежит перу видного американского математика, известного не только многочисленными научными исследованиями, но и прекрасно написанными учебниками. Многие его статьи и книги переведены на русский язык.
Новый учебник У. Рудина отличается продуманным подбором материала, мастерским изложением, разбором нетривиальных примеров приложений функционального анализа в других областях математики. В книге три основные части: общая теория; распределения и преобразования Фурье; банаховы алгебры и спектральная теория. Наряду с классическими результатами отражены и многие новые факты функционального анализа.
Книга доступна студентам средних курсов математических специальностей университетов и пединститутов. Она, несомненно, окажется полезной всем изучающим или преподающим функциональный анализ.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу ................. 5
Предисловие......... 7
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Глава I. Топологические векторные пространства .......... 9
Введение ............................ 9
Свойства отделимости...................... 6
Линейные отображения..................... 20
Конечномерные пространства.................. 22
Метризация .......................... 25
Ограниченность и непрерывность..............30
Полунормы и локальная выпуклость .............. 33
Факторпространства ...................... 38
Примеры............................ 41
Упражнения.......................... 47
Глава 2. Полнота.......................... 52
Бэросская категория...................... 52
Теорема Банаха—Штейнгауза ................. 54
Теорема об открытом отображении...... 58
Теорема о замкнутом графике.......... ..... 60
Билинейные отображения .......... 62
Упражнения.......................... 63
Глава 3. Выпуклость........................ 67
Теоремы Хана—Банаха..................... 67
Слабые топологии..................... . 73
Компактные выпуклые множества................ 80
Интегрирование векторных функций.............. 89
Голоморфные функции .................... 94
Упражнения................... 98
Глава 4. Двойственность в банаховых пространствах......... 104
Нормированное сопряженное к нормированному пространству .......104
Сопряженные операторы .................... 111
Компактные операторы..................... 117
Упражнения.......................... 126
Глава 5. Некоторые приложения 132
Теорема о непрерывности.................... 132
Замкнутые подпространства в пространствах LP......... 133
Область значений векторной меры................ 135
Обобщенная теорема Стоуна—Вейерштрасса.......... 137
Две интерполяционные теоремы................. 140
Одна теорема о неподвижной точке............... 143
Мера Хаара на компактных группах.............. 146
Недополняемые подпространства ................ 150
Упражнения .... 156
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Глава 6. Пробные функции и распределения 159
Введение.................. 159
Пространства пробных функций................. 161
Операции над распределениями................ 167
Локализация.......................... 172
Носители распределений .................... 174
Распределения как производные................. 177
Свертки ............................. 181
Упражнения.......................... 188
Глава 7. Преобразование Фурье........ 193
Основные свойства....................... 193
Медленно растущие распределения............... 200
Теоремы Пэли — Винера..................... 207
Лемма Соболева ....................... 213
Упражнения.......................... 216
Глава 8. Приложения к дифференциальным уравнениям........ 221
Фундаментальные решения ................... 221
Эллиптические уравнения.................... 226
Упражнения.......................... 234
Глава 9. Тауберовы теоремы .................... 238
Теорема Винера ....................... 238
Теорема о простых числах ................... 242
Уравнение восстановления ................... 248
Упражнения.......................... 251
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Глава 10. Банаховы алгебры..................... 255
Введение.................. .... 255
Комплексные гомоморфизмы ................ 259
Основные свойства спектров ................. 263
Функциональное исчисление .................. 268
Дифференцирования ...................... 278
Группа обратимых элементов.................. 288
Упражнения.......................... 290
Глава 11. Коммутативные банаховы алгебры............. 295
Идеалы и гомоморфизмы.................... 295
Преобразование Гельфанда................... 305
Инволюции........................... 309
Приложения к некоммутативным алгебрам ........... 314
Положительные функционалы.................. 319
Упражнения......................... 324
Глава 12. Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве . . . 329
Основные факты ........................ 329
Ограниченные операторы.................... 332
Теорема о перестановочности.................. 337
Разложения единицы.................. . . 338
Спектральная теорема...................... 343
Собственные значения нормальных операторов.......... 350
Положительные операторы и квадратные корни......... 352
Группа обратимых операторов ................ 356
Характеризация В-алгебр.................. 359
Упражнения.......................... 363-
Глава 13. Неограниченные операторы................ 369
Введение............................ 369
Графики и симметрические операторы.............. 373
Преобразование Кэли...................... 379
Разложения единицы...................... 383
Спектральная теорема ..................... 391
Полугруппы операторов..................... 399
Упражнения ......................... 407
Приложение А. Компактность и непрерывность ........... 412
Приложение В. Примечания и комментарии............. 417
Список литературы......................... 430
Список обозначений ......................... 432
Именной указатель........... ........... 435
Указатель терминов ........................ 437
