Соболев С.Л. Уравнения математической физики (4-е изд.). - М., 1966
Эта книга составлена в результате переработки курса лекций, читанного автором в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Поэтому автор сохранил за отдельными лекциями их название. Этим объясняется и подбор материала, который был ограничен в объеме количеством лекционных часов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию........................................7
Предисловие к первому изданию..........................................8
Лекция I. Вывод основных уравнений..............................9
§ 1. Формула Остроградского......................................9
§ 2. Уравнение колебаний струны..................................И
§ 3. Уравнение колебаний мембраны..............................14
§ 4. Уравнение неразрывности при движении жидкости и уравнение Лапласа..................................................16
§ 5. Уравнение передачи тепла....................................19
§ 6. Звуковые волны................................................23
Лекция II. Постановка задач математической физики. Пример Адамара ..........28
§ 1. Начальные и краевые условия................................28
§ 2. Зависимость решения от предельных условий Пример Адамара ...............32
Лекция 111. Классификация линейных уравнений 2-го порядка 39
§ 1. Линейные уравнения и квадратичные формы. Канонический вид уравнения.................39
§ 2. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными .......................44
§ 3. Второй канонический вид гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными.........47
§ 4. Характеристики................................................48
Лекция IV. Уравнение колебаний струны и его решение методом Даламбера.......................52
§ 1. Формула Даламбера. Неограниченная струна................52
§ 2. Струна с двумя закрепленными концами....................55
§ 3. Решение задачи для неоднородного уравнения и для более общих граничных условий.........57
Лекция V. Метод Римана............................................63
§ 1. Первая краевая задача для гиперболических уравнений ... 63
§ 2. Сопряженные дифференциальные операторы..................67
§ 3. Метод Римана ..................................................70
§ 4. Функция Римана для сопряженного уравнения ..........74
§ 5. Некоторые качественные следствия формулы Римана..........76
Лекция VI. Кратные интегралы . . . . ...........................78
§ 1. Замкнутые и открытые множества точек ....................79
§ 2. Интегралы по открытым множествам от непрерывных функций ................84
§ 3. Интегралы по ограниченным замкнутым множествам от непрерывных функций.................90
§ 4. Суммируемые функции ........................................96
§ 5. Неопределенный интеграл от функции одной переменной.
Примеры ........................................................103
§ 6. Измеримые множества. Теорема Егорова ....................106
§ 7. Сходимость в среднем суммируемых функций................114
§ 8. Теорема Лебега — Фубини ....................................124
Лекция VII. Интегралы, зависящие от параметра................128
§ 1. Интегралы, равномерно сходящиеся при данном значении параметра.................128
§ 2. Производная по параметру от несобственных интегралов ... 131
Лекция VIII. Уравнение распространения тепла..................136
§ 1. Фундаментальное решение......................................136
§ 2. Решение задачи Коши..........................................142
Лекция IX. Уравнения Лапласа и Пуассона......................149
§ 1. Теорема максимума............................................149
§ 2. Фундаментальное решение. Формула Грина..................151
§ 3. Потенциалы объема, простого слон и двойного слоя . . . 153
Лекция X. Некоторые общие следствия из формулы Грина..........159
§ 1. Теорема о среднем арифметическом..........................159
§ 2. Поведение гармонической функции вблизи oсобой точки ... 163
§ 3. Поведение гармонической функции на бесконечности. Взаимно сопряженные точки.........167
Лекция XI. Уравнение Пуассона в неограниченной среде. Ньютонов потенциал................171
Лекция XII. Решение задачи Дирихле для шара..................176
Лекция XIII. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства . . 185
Лекция XIV. Волновое уравнение и запаздывающие потенциалы 193
§ 1. Характеристики волнового уравнения........................193
§ 2. Метод Кирхгофа для решения задачи Коши................194
Лекция XV. Свойства потенциалов простого и двойного слоя . . . 208
§ 1. Общие замечания................................................208
§ 2. Свойства потенциала двойного слоя..........................209
§ 3. Свойства потенциала простого слоя..........................216
§ 4. Правильная нормальная производная........................225
§ 5. Нормальная производная потенциала двойного слоя..........226
§ 6. Поведение потенциалов на бесконечности....................228
Лекция XVI. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям..................229
§ 1. Постановка задач и единственность их решений ..........229
§ 2. Интегральные уравнения для поставленных задач..........232
Лекция XVII. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости . . . 235
§ 1. Фундаментальное решение....................................235
§ 2. Основные задачи................................................237
§ 3. Логарифмический потенциал..................................241
Лекция XVIII. Теория интегральных уравнений..................244
§ 1. Общие замечания................................................244
§ 2. Метод последовательных приближений........................245
§ 3. Уравнение Вольтерра..........................................249
§ 4. Уравнения с вырожденным ядром............................251
§ 5. Ядро специального вида. Теоремы Фредголъма..............256
§ 6. Обобщение результатов........................................261
§ 7. Уравнения с неограниченными ядрами специального вида . . 264
Лекция XIX. Применение теории Фредгольма к решению задач Дирихле и Неймана...........267
§ 1. Вывод свойств интегральных уравнений......................267
§ 2. Исследование уравнений ......................................269
Лекция XX. Функция Грина........................................274
§ 1. Дифференциальные операторы с одной независимой переменной ..................274
§ 2. Сопряженные операторы и сопряженные семейства..........278
§ 3. Основная лемма об интегралах сопряженных уравнений ........ 281
§ 4. Функция влияния..............................................285
§ 5. Определение и построение функции Грина..................287
§ 6. Обобщенная функция Грина для линейного уравнения 2-го порядка ............291
§ 7. Примеры ........................................................296
Лекция XXI. Функция Грина для оператора Лапласа............301
§ 1. Функция Грина для задачи Дирихле........................301
§ 2. Функция Грина для задачи Неймана........................306
Лекция XXII. Корректность постановки краевых задач математической физики ...........311
§ 1. Уравнение теплопроводности..................................311
§ 2. Понятие обобщенного решения................................314
§ 3. Волновое уравнение............................................318
§ 4. Обобщенные решения волнового уравнения..................322
§ 5. Свойство обобщенных решений однородных уравнений ..........329
§ 6. Неравенства Буняковского и Минковского..................334
§ 7. Теорема Рисса — Фишера......................................335
Лекция XXIII. Метод Фурье........................................338
§ 1. Разделение переменных........................................338
§ 2. Аналогия между задачей о колебании непрерывной среды и колебаниями механических систем с конечным числом степеней свободы......................................345
§ 3. Неоднородное уравнение......................................347
§ 4. Продольные колебания стержня со свободными концами . . . 351
Лекция XXIV. Интегральные уравнения с вещественным симметрическим ядром..............354
§ 1. Простейшие свойства. Вполне непрерывные операторы ........... 354
§ 2. Доказательство существования собственного значения .... 366
Лекция XXV. Билинейная формула и теорема Гильберта — Шмидта.....................370
§ 1. Билинейная формула..........................................370
§ 2. Теорема Гильберта — Шмидта................................378
§ 3. Обоснование метода Фурье для решения краевых задач математической физики....................381
§ 4. Применение теории интегральных уравнений с симметрическим ядром.........................390
Лекция XXVI Неоднородное интегральное уравнение с симметрическим ядром...................391
§ 1. Разложение резольвенты......................................391
§ 2. Представление решения при помощи аналитических функций 393
Лекция XXVII. Колебания прямоугольного параллелепипеда 397
Лекция XXVIII Уравнение Лапласа в криволинейных координатах.
Примеры применения метода Фурье ..............403
§ 1. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах............403
§ 2. Функции Бесселя ............................................409
§ 3 Полное разделение переменных в уравнении Δu= 0 в полярных координатах.....................412
Лекция XXIX. Гармонические полиномы и сферические функции 417
§ 1. Определение сферических функции............................417
§ 2. Приближение при помощи сферических функций ..... 421
§ 3. Задача Дирихле для шара...................424
§ 4. Дифференциальные уравнения для сферических функций ........425
Лекция XXX. Некоторые простейшие свойства сферических функций .................431
§ 1. Представление полиномов Лежандра..........................431
§ 2. Производящая функция........................................432
§ 3 Формула Лапласа..............................................435
Предметный указатель .............................438
