Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. - М.: ИЛ, 1950.
В книге А. Зоммерфельда «Дифференциальные уравнения в частных производных физики», являющейся шестым томом его лекций по теоретической физике, последовательно изложен круг вопросов, входящих обычно в курс методов математической физики (ряды Фурье, проблемы, связанные с рассмотрением уравнений в частных производных второго порядка, цилиндрические и шаровые функции, уравнения колебаний мембран и т. д.). В отличие от книг, имеющихся по этому разделу математики, в книге Зоммерфельда много внимания уделено физической стороне дела: рассмотрению физических проблем и конкретных задач. В конце книги в виде задач дан полезный дополнительный материал, непосредственно примыкающий к основному тексту.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, прежде всего физиков всех специальностей; ее с интересом прочтут также математики, занимающиеся вопросами теоретической физики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода............. 5
Из предисловия к первому изданию........... 7
Предисловие ко второму изданию............. 9
Глава I. Ряды и интегралы Фурье........... 11
§ 1. Ряды Фурье................... 12
§ 2. Пример разрывной функции. Эффект Гиббса и неравномерная сходимость............. 19
§ 3. К вопросу о сходимости рядов Фурье...... 28
§ 4. Переход к интегралу Фурье........... 32
§ 5. Разложение по шаровым функциям....... 37
§ 6. Обобщения: осциллирующие и оскулирующие аппроксимации, ангармонический анализ Фурье. Пример неокончательного определения коэффициентов.................... . 43
Глава II. Общие сведения об уравнениях в частных производных................. 51
§ 7. Простейшие уравнения в частных производных . 51
§ 8. Уравнения эллиптического, гиперболического и параболического типов. Теория характеристик 56
§ 9. Различие между дифференциальными уравнениями гиперболического, эллиптического и параболического типов.................. 62
§ 10. Формула Грина и функция Грина для линейных дифференциальных уравнений и, в частности, для уравнений эллиптического типа......... 67
§ 11. Метод Римана интегрирования дифференциального уравнения гиперболического типа........ 78
§ 12. Формула Грина для уравнения теплопроводности. Главное решение уравнения теплопроводности ...... 82
Глава III. Граничные задачи теплопроводности..... 92
§ 13. Полубесконечный линейный проводник тепла ....... 92
§ 14. Задача о температуре земли............... 99
§ 15. Задача о кольце..................................103
§ 16. Ограниченный линейный проводник тепла .... 108
§ 17. Отражение в плоскости и в пространстве .... 114
§ 18. Единственность решения в случае проводника произвольной формы..............119
Глава IV. Цилиндрические и сферические задачи .... 122
§ 19. Функции Бесселя и Ханкеля....................122
§ 20. Выравнивание температуры в цилиндре..........146
§ 21. Дальнейшие сведения о бесселевых функциях . . 154
§ 22. Шаровые функции и теория потенциала..........175
§ 23. Функция Грина теории потенциала для шара. Шаровые и круговые задачи для других дифференциальных уравнений..........................190
§ 24. Дальнейшие сведения о шаровых функциях ... 201
Приложение I. Отражение от круглого цилиндрического или сферического зеркала . . . 223
Приложение II. Дополнение к задаче Римана о звуковых волнах (§11)..........230
Глава V. Собственные функции и собственные значения ....................... 233
§ 25. Собственные значения и собственные функции колеблющейся мембраны.............. 233
§ 26. Общие сведения о граничных задачах акустики и теплопроводности............... 248
§ 27. Свободные и вынужденные колебания. Функция Грина уравнения колебаний........... 255
§ 28. Бесконечная область и непрерывный спектр собственных значений. Условие излучения..... 264
§ 29. Спектр собственных значений волнового уравнения. Бальмеровские термы............ 280
§ 30. Функция Грина. Задачи рассеяния в волновой механике. Формула Резерфорда в ядерной физике 288 Приложение I. Нормировка собственных функций для неограниченной области .... 293
Приложение II. Новый способ решения внешней краевой задачи волнового уравнения, рассмотренный на примере шара . . 298
Приложение III. Собственные функции волновой механики для задачи рассеяния в параболических координатах..........312
Приложение IV. Плоские и сферические волны в неограниченном пространстве любого числа измерений..............315
Глава VI. Проблемы беспроволочной телеграфии ........328
§ 31. Диполь Герца в однородной среде и над идеально проводящей землей..............................329
§ 32. Вертикальная антенна над землей с любыми электрическими постоянными........................342
§ 33. Горизонтальная антенна над землей с любыми электрическими постоянными....................356
§ 34. Ошибки при пеленгации электрической горизонтальной антенны . . .......................366
§ 35. Магнитная или рамочная антенна................369
§ 36. Энергия излучения и поглощение в земле .... 373
Приложение. Беспроволочная телеграфия на шарообразной земле . .......................385
Упражнения..............................................401
Указания к решению задач.........................409
