Н.Я. Виленкин, Р.С. Гутер, С.И. Шварцбурд, Б.В. Овчинский, В.Г. Ашкинузе. Алгебра. Учебное пособие для 9-10 классов средних школ с математической специализацией. -М.: Просвещение, 1968. - 336 с.
Учебное пособие для школ с математической специализацией, снабженное большим количеством задач и упражнений.
Из предисловия. Книга полезна для тех, кто хочет подготовиться к экзаменам в вузы, где предъявляются повышенные требования к математической подготовке поступающих.
Книга (или ее отдельные главы) может оказаться полезной и для самостоятельной работы школьников, математические интересы которых выходят за рамки обычного школьного курса. Мы надеемся, наконец, что книга заинтересует и студентов педагогических институтов, так как наглядно показывает связь изучаемых теоретических вопросов с школьной алгеброй.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя ...................6
Введение..........................10
1. Множества (10). 2. Числовые множества (11). 3. Пустое множество (12). 4. Подмножество (13). 5. Пересечение множеств (14). 6. Сложение множеств (15). 7. Разбиение множеств (17). 8. Вычитание множеств (17). 9. Отображение множеств (18). 10. Краткие исторические сведения (19).
Глава /. Многочлены от одного переменного ............21
§ 1. Тождественные преобразования многочленов (21). 1. Основные законы алгебры (21). 2. Целые рациональные выражения и функции (22). 3. Степень с натуральным показателем и ее свойства (24). 4. Многочлены (27). 5. Умножение многочленов (29). 6. Числовые кольца и поля (32). 7. Кольцо многочленов над данным числовым полем (34). 8. Бином Ньютона (34).
§ 2. Деление многочленов. Корни многочленов (37). 1. Деление многочленов (37). 2. Теорема Безу. Схема Горнера (41). 3. Корни многочлена (43). 4. Интерполяционные формулы (44). 5. Кратные корни (46). 6. Многочлены второй степени (46). 7. Многочлены с целыми коэффициентами (48). 8. Краткие исторические сведения (50).
Глава II. Алгебраические уравнения и неравенства..........53
§ 1. Общая теория уравнений (53). 1. Тождества (53). 2. Область допустимых значений (54). 3. Уравнения (54). 4. Совокупности уравнений (57). 5. Преобразования уравнений (59). 6. Теоремы о равносильности уравнений (60).
§ 2. Уравнения с одним неизвестным (64). 1. Алгебраические уравнения с одним неизвестным (64). 2. Метод разложения на множители (65). 3. Метод введения нового неизвестного (68). 4. Биквадратные уравнения (70). 5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней (71).
§ 3. Функциональные неравенства (74). 1. Следствия из неравенств (75). 2. Равносильные неравенства (76). 3. Доказательство неравенств (78). 4. Линейные неравенства (80). 5. Решение неравенств второй степени (82). 6. Решение алгебраических неравенств высших степеней (86). 7. Краткие исторические сведения (90).
Глава III. Обобщение понятия степени. Иррациональные выражения . . 91
§ 1. Степени с целым показателем (91). 1. Обобщение понятия степени (91). 2. Степень с нулевым показателем (93). 3. Степень с целым отрицательным показателем (93).
§ 2. Корни. Степени с рациональными показателями (95). 1. Понятие корня (95). 2. Степени с рациональными показателями (96). 3. Свойства степеней с рациональными показателями (99).
§ 3. Иррациональные алгебраические выражения (101). 1. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения (101). 2. Одночленные иррациональные выражения (101). 3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю (103). 4. Извлечение корня из произведения и степени (104). 5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень (105). 6. Возведение корня в степень (106). 7. Извлечение корня из корня (107). 8. Подобные корни (107). 9. Сложение и вычитание корней (108). 10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби (108).
11. Преобразование выражений вида V А ±\/~В (110). 12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений (112).
§ 4. Иррациональные уравнения и неравенства (114). 1. Определение (114). 2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным (115). 3. Уединение радикала (116). 4. Введение нового неизвестного (118). 5. Особые случаи решения иррациональных уравнений (119). 6. Иррациональные неравенства (122). 7. Краткие исторические сведения (124).
Глава IV. Многочлены от нескольких переменных. Системы уравнений
и неравенств.......................125
§ 1. Системы алгебраических уравнений (125). 1. Целые рациональные функции от нескольких переменных (125). 2. Системы уравнений (126). 3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными (127). 4. Совокупность уравнений (128). 5. Равносильные системы уравнений (131). 6. Метод подстановки (133). 7. Метод алгебраического сложения уравнений (137). 8. Метод введения новых неизвестных (141). 9. Системы однородных уравнений (142). 10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными (145).
§ 2. Системы линейных уравнений (153). 1. Введение (153). 2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений (154). 3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса (155). 4. Метод Гаусса (156). 5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений (159). 6. Системы однородных линейных уравнений (161). 7. Дополнительные задачи на системы линейных уравнений (163).
§ 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений (164). 1. Симметрические многочлены от двух переменных (164). 2. Выражение степенных сумм через (Ті и а2 (165). 3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных (167). 4. Системы симметрических алгебраических уравнений (168). 5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений (170).
§ 4. Неравенства с многими переменными (171). 1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел (172). 2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел (173). 3. Неравенство Коши (двумерный вариант) (174). 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (178).
§ 5. Решение неравенств (183). 1. Общие замечания (183). 2. Неравенства с двумя переменными (184). 3. Задание областей неравенствами и системами неравенств (186). 4. Понятие о линейном программировании (191). 5. Краткие исторические сведения (195).
Глава V. Комплексные числа ....................197
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме (197). 1. Развитие понятия о числе (197). 2. Комплексные числа (199). 3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа (200). 4. Умножение комплексных чисел (201). 5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами (202). 6. Деление комплексных чисел (203). 7. Сопряженные комплексные числа (205). 8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел (207).
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел (209). 1. Геометрическое изображение комплексных чисел (209). 2. Полярная система координат (210). 3. Тригонометрическая форма комплексного числа (212). 4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме (216). 5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра (218). 6. Извлечение корня из комплексного числа (220). 7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости (224).
§ 3. Некоторые виды алгебраических уравнений (228). 1. Комплексные корни алгебраических уравнений (228). 2. Двучленные уравнения (229). 3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников (232). 4. Трехчленные уравнения (233).
§ 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия (234).
1. Основная теорема алгебры многочленов (234). 2. Многочлены с действительными коэффициентами (236). 3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами (237). 4. Краткие исторические сведения (238).
Глава VI. Цепные дроби.......................240
§ 1. Конечные цепные дроби (240). 1. Алгоритм Евклида (240).
2. Пример цепной дроби (241). 3. Определение цепной дроби (243).
4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби (245).
5. Подходящие дроби (249). 6. Свойства подходящих дробей (253). 7. Дио-фантовы уравнения первой степени (255). 8. Подходящие дроби и календарь (256). 9. Приближение цепной дроби подходящими дробями (257).
§ 2. Бесконечные цепные дроби (261). 1. Разложение иррациональных чисел в цепные дроби (261). 2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными (264). 3. Цепные дроби как вычислительный инструмент (265). 4. Краткие исторические сведения (267).
Глава VII. Комбинаторика......................268
§ 1. Комбинаторные задачи (268). § 2. Комбинаторные задачи. Продолжение (272). § 3. Определения и формулы (277). § 4. Соединения с повторениями (286). § 5. Комбинаторные задачи. Окончание (293). § 6. Бином Ньютона и его обобщения (299). § 7. Краткие исторические сведения (304).
Глава VIII. Элементы теории вероятностей..............308
§ 1. Событие и вероятность (308).
§ 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности (312).
§ 3. Примеры вычисления вероятностей (321). § 4. Полная вероятность. Формула Бейеса (325). § 5. Повторение испытаний (329).
§ 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание (332). § 7. Краткие исторические сведения (336).
