Виленкин Н. Я., Шварцбурд С. И. Математический анализ. Учеб. пособие для IX—X классов сред, школ с мат. специализацией. М., „Просвещение", 1969. - 576 с.
Учебное пособие для средних щкол с математической специализацией, снабженное большим количеством задач и упражнений. Как и вышедшая ранее (1968 г.) книга „Алгебра" того же авторского коллектива, может быть использована преподавателями и учащимися общеобразовательной школы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя .................. 8
Глава 1. Действительные числа................ 15
§ 1. Рациональные числа. Неравенства (15). 1. Множество рациональных чисел (15). 2. Отношения порядка и их свойства (18). 3. Действия над неравенствами (24). 4. Геометрическое изображение рациональных чисел (23). 5. Несоизмеримые отрезки (24).
§ 2. Действительные числа (26). 1. Бесконечные десятичные дроби
(26). 2. Бесконечные десятичные дроби и процесс измерения отрезков
(27). 3. Действительные числа (30). 4. Упорядоченность множества действительных чисел (31). 5. Десятичные приближения действительных чисел (32). 6. Рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби. (33). 7. Теорема о разделяющем числе (36). 8. Необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа (38). 9. Арифметические действия над действительными числами (39). 10. Модуль числа и его свойства (44). 11. Геометрический смысл модуля (45). 12. Превращение периодических десятичных дробей в обыкновенные (46). 13. Рациональные и иррациональные числа (48).
Краткие исторические сведения (50).
Глава II. Числовые последовательности и их пределы.......52
§ 1. Последовательности. Прогрессии (52). 1. Определение последовательности (52). 2. Способы задания последовательностей (53). 3. Монотонные последовательности (56). 4. Арифметическая прогрессия (57). 5. Сумма первых членов арифметической прогрессии (58). 6. Геометрическая прогрессия (61). 7. Формула общего члена геометрической прогрессии (62). 8. Сумма первых членов геометрической прогрессии (64).
9. Индукция (66). 10. Метод математической индукции (69). 11. Неравенство Бернулли (73).
§ 2. Предел последовательности (74). 1. Устанавливающиеся последовательности (74). 2. Процесс радиоактивного распада (76). 3. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности (77). 4. Геометрический смысл понятия предела (в0). 5. Бесконечно малые последовательности (82). 6. Свойства бесконечно малых последовательностей (84). 7. Теоремы о пределах последовательностей (88). 8. Примеры вычисления пределов последовательностей (91). 9. Определение N по є (93).
10. Пределы и приближенные вычисления (97).
§ 3. Признаки существования предела последовательности. Число е (98). 1. Вводные замечания (98). 2. Грани числовых множеств (99).
3. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (100).
4. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии (104).
5. Теорема о стягивающейся системе отрезков (106). 6. Предельный переход в неравенствах (109). 7. Формула сложных процентов (111). 8. Число е (113). 9. Вычисление пределов, связанных с числом е (114). Краткие исторические сведения (115).
Глава III. Функции : ................117
§ 1. Функции и способы их задания (117). 1. Вводные замечания (117). 2. Общее определение функции (118). 3. Числовые функции числового аргумента (118). 4. Аналитическое задание функций (120).
5. Задание функции несколькими аналитическими выражениями (123).
6. Функциональная символика (127). 7. Сложные функции (129). 8. График функции (131). 9. Преобразования графиков (135). 10. Графики общей квадратичной и дробно-линейной функций (137). 11. Графики суммы, произведения и частного функций (145). 12. Таблицы значений функций (148). 13. Функции нескольких переменных (149).
§ 2. Элементарное исследование функций (152). 1. Вводные замечания (152). 2. Область определения функции (153). 3. Четные и . нечетные функции (154). 4. Ограниченные и неограниченные функции (158). 5. Полюсы функции. Вертикальные асимптомы (159). 6. Периодические функции (163). 7. Исследование знака функции (165). 8. Возрастание и убывание функций (168). 9. Максимумы и минимумы функции (170). 10. Предел функции при х-+оо (171). 11. Горизонтальные и наклонные асимптоты (174). 12. Общая схема исследования функции (178).
§ 3. Непрерывные функции (180). 1. Задача о площади квадрата (180). 2. Понятие непрерывной функции (181). 3. Точное определение непрерывности (182). 4. Приращение функции (183). 5. Доказательство непрерывности некоторых функций (185). 6. Непрерывность суммы и произведения (188). 7. Непрерывность сложной функции (189). 8. Арифметические операции над непрерывными функциями (190). 9. Теорема о промежуточном значении (191). 10. Обратная функция (195). 11. Теорема об обратной функции (197). 12. Точки разрыва (198).
§ 4. Предел функции (201). 1. Определение предела функции в точке (201). 2. Односторонние пределы. Скачки функции (203). 3. Свойства предела функции (205). 4. Вычисление пределов функций (206). Краткие исторические сведения (209).
Глава IV. Производная . : . з.............2Ц
§ 1. Производная (211). 1. Средняя скорость изменения функции (211). 2. Мгновенная скорость прямолинейного движения (213).
3. Производная (214). 4. Производная постоянной (216). 5. Производная линейной функции (216). 6. Производная квадратичной функции (217). 7. Производная степенной функции с натуральным показателем (217). 8. Касательная к кривой (219). 9. Выражение углового коэффициента касательной через производную (220). 10. Уравнение касательной (221). И. Непрерывность дифференцируемых функций (222). 12. Вторая производная (223). 13. Производные высшего порядка (223).
§ 2. Техника дифференцирования (224). 1. Производная суммы (224). 2. Производная функции «/=Си (225). 3. Производная произведения (226).
4. Производная частного (227). 5. Дифференцирование сложной функции (228). 6. Дифференциал функции (229). 7. Инвариантная запись дифференциала функции (231). 8. Применение понятия дифференциала к приближенным вычислениям (232).
§ 3. Применение понятия производной к исследованию функций (233). 1. Возрастание и убывание функции (233). 2. Необходимое условие экстремума (238). 3. Первое достаточное условие экстремума (240). 4. Второе достаточное условие экстремума (244). 5. Направление выпуклости графика (246). 6. Точки перегиба (247). 7. Применение понятия выпуклости к доказательству неравенств (248). 8. Построение графиков функций с помощью производной (249). 9. Отыскание наибольших и наименьших значений функции на отрезке (251). 10. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (252).
Краткие исторические сведения (254).
Г лава V. Тригонометрические функции............256
§ 1. Площадь круга и длина окружности. Числовая окружность (256). 1. Площадь круга (256). 2. Квадрируемые области. Площадь сектора (259). 3. Длина дуги кривой. Длина окружности (261). 4. Радианное измерение дуг и углов (264). 5. Обобщение понятия о дуге (265). 6. Обобщение понятия об угле (266). 7. Единичная числовая окружность (267). 8. Соответствие между точками числовой прямой и числовой окружности (268).
§ 2. Тригонометрические функции (269). 1. Определение тригонометрических функций числового аргумента (269). 2. Знаки тригонометрических функций (271). 3. Связь функций sin х и cos х (272). 4. Тригонометрические функции угла (274). 5. Вычисление значений синуса и косинуса для некоторых значений аргумента (275). 6. Определение тангенса и котангенса (278). 7. Геометрическое изображение tgx nctg х (280).
8. Выражение тригонометрических функций через одну из них (282).
9. Гармонические колебания (287).
§ 3. Свойства тригонометрических функций (289). 1. Периодичность (289). 2. Отыскание периода (290). 3. Формулы приведения для sin х и cos х (292). 4. Формулы приведения и соотношения периодичности для тангенса и котангенса (299). 5. Непрерывность функций sin х и cos х (302). 6. Возрастание и убывание тригонометрических функций (304). 7. Графики функций sin х и cos х (306). 8. Графики функций tg х и ctg х (308) 9. График гармонического колебания (313).
§ 4. Тригонометрические уравнения. Обратные тригонометрические функции {315). 1. Множество значений аргумента, соответствующих данному значению тригонометрической функции (315). 2. Промежутки главных значений для тригонометрических функций (319). 3. Тригонометрические уравнения (321). 4. Тригонометрические уравнения, приводящиеся к простейшим (322). 5. Обратные тригонометрические функции (326).
§ 5. Формулы сложения для тригонометрических функций и их следствия (330). 1. Некоторые факты векторной алгебры (330). 2. Разложение радиус-вектора (331). 3. Вывод формул сложения для синуса и косинуса (332). 4. Преобразование выражения a coscot+b sincof к виду A sin(<of-fa) (335). 5. Сложение гармонических колебаний с одинаковой частотой (337). 6. Формулы сложения для тангенса и котангенса (339).
§ 6. Частные случаи и следствия формул сложения (341). 1. Тригонометрические функции двойного аргумента (341). 2. Выражение тригонометрических функций двойного аргумента через igx (343). 3. Тригонометрические функции кратных аргументов (344). 4. Тригонометрические функции половинного аргумента (346). 5. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму (350). 6. Тригонометрические многочлены (352). 7. Понятие о гармоническом анализе функций (354). 8. Представление суммы тригонометрических функций в виде произведения (355). 9. Биения (360).
