Брановицька С. В., Медведєв Р. Б., Фіалков Ю. Я. Обчислювальна математика та програмування: Обчислювальна математика в хімії і хімічній технології.- Підручник. - К., ТОВ "Фірма «Періодика»", 2004. - 220 с.; іл.
Розглянуто методи обчислення похибок, наближеного розв'язання нелінійних алгебричних і диференціальних рівнянь, апроксимації, числового диференціювання й інтегрування. Викладено статистичні методи обробки результатів спостережень, зокрема, первинну статистичну обробку експериментальних даних, елементи теорії кореляції. Значну увагу приділено застосуванню методів наближених обчислень і статистичної обробки даних до різних питань хімії і хімічної технології. Наведено приклади розрахунків, таблиці, які використовують під час статистичної обробки даних.
Особливістю підручника є орієнтація користувачів — студентів хіміко-технологічних спеціальностей - на потребу опанування методів обчислювальної математики з подальшим упровадженням цих методів у програмні продукти. Останні, за задумом авторів, студенти мають створювати самостійно, що відрізняє цей підручник від поширених нині підручників-інструкцій для користування готовими програмами.
Для студентів хіміко-технологічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
Зміст
Передмова............................................................................................................З
Частина І
МЕТОДИ НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ.............................................5
Розділ 1. Елементи теорії похибок......................................................5
1.1. Наближені значення величин. Джерела похибок.
Класифікація похибок...................................................................................5
1.2. Абсолютна і відносна похибки.....................................................................6
1.3. Правильні значущі цифри наближеного числа...........................................9
1.4. Правила округлення чисел.........................................................................10
1.5. Зв'язок між кількістю правильних цифр
і похибкою наближеного числа..................................................................11
1.6. Похибки суми, різниці, добутку, частки, степеня
та кореня наближених чисел......................................................................13
1.6.1. Похибка суми........................................................................................13
1.6.2. Похибка різниці.....................................................................................14
1.6.3. Похибка добутку...................................................................................16
1.6.4. Похибка частки.....................................................................................18
1.6.5. Похибка степеня...................................................................................19
1.6.6. Похибка кореня.....................................................................................20
1.6.7. Обчислення за формулою...................................................................20
Розділ 2. Наближене розв'язання нелінійних рівнянь......................22
2.1. Загальні поняття.........................................................................................22
2.2. Методи відокремлення коренів..................................................................23
2.2.1. Графічний метод відокремлення коренів................................................23
2.2.2. Аналітичний метод відокремлення коренів.............................................24
2.3. Метод проб..................................................................................................25
2.4. Метод хорд.................................................................................................26
2.5. Метод Ньютона (метод дотичних).............................................................ЗО
2.6. Комбінований метод хорд і дотичних........................................................33
2.7. Метод ітерацій (метод послідовних наближень)......................................35
2.8. Порівняння методів уточнення коренів.....................................................40
Розділ 3. Розв'язання систем рівнянь...............................................41
3.1. Розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь...................................41
3.1.1. Постановка задачі................................................................................41
3.1.2. Метод Гаусса. Схема єдиного ділення...............................................42
3.1.3. Ітераційний метод Гаусса - Зейделя.................................................48
3.2. Наближений розв'язок систем нелінійних рівнянь...................................51
3.2.1. Метод ітерації для системи двох рівнянь...........................................51
3.2.2. Метод Ньютона для системи двох рівнянь........................................55
Розділ 4. Наближення функцій..........................................................57
4.1. Постановка задачі про наближення функції.............................................57
4.2. Інтерполювання функцій............................................................................57
4.2.1. Постановка задачі інтерполювання....................................................57
4.2.2. Інтерполяційна формула Лагранжа....................................................58
4.2.3. Поняття про скінченні різниці різних порядків...................................60
4.2.4. Перша інтерполяційна формула Ньютона
для рівновіддалених вузлів інтерполяції............................................61
4.2.5. Друга Інтерполяційна формула Ньютона
для рівновіддалених вузлів Інтерполяції............................................64
4.2.6. Оцінки похибок інтерполяційних формул Лагранжа І Ньютона........67
4.2.7. Обернене, інтерполювання..................................................................68
4.3. Точкове квадратичне наближення функцій..............................................71
4.3.1. Лінійна апроксимація за методом найменших квадратів....................72
4.3.2. Параболічна апроксимація за методом найменших квадратів.........75
4.3.3. Апроксимація за методом найменших квадратів
у вигляді показникової або степеневої функції......................................77
4.4. Наближення функції за способом Чебишова...........................................79
4.5. Емпіричні формули.....................................................................................87
4.5.1. Постановка задачі................................................................................87
4.5.2. Вибір вигляду емпіричної формули....................................................87
4.5.3. Визначення параметрів емпіричної формули....................................91
Розділ 5. Числове диференціювання й інтегрування.......................95
5.1. Числове диференціювання. Формули числового диференціювання,
які базуються на Інтерполяційних формулах Ньютона............................95
5.2. Числове Інтегрування.................................................................................99
5.2.1. Постаноака задачі................................................................................99
5.2.2. Формула трапецій..............................................................................100
5.2.3. Формула парабол (формула СІмпсона)...........................................104
Розділ 6. Числове інтегрування
звичайних диференціальних рівнянь............................................108
6.1. Постановка задачі....................................................................................108
6.2. Метод Ейлера...........................................................................................109
6.3. Модифікації методу Ейлера.....................................................................111
6.3.1. Удосконалений метод Ейлера...........................................................111
6.3.2. Удосконалений метод Ейлера - Коші...............................................112
6.3.3. Удосконалений метод Ейлера - Коші
з наступною ітераційною обробкою...................................................113
6.3.4. Метод Рунге - Кутта...........................................................................114
Розділ 7. Наближене розв'язання лінійної крайової задачі
для звичайних диференціальних рівнянь.......................................117
7.1. Постановка задачі.............................................................л......................117
7.2. Метод скінченних різниць.........................................................................117
7.3. Метод прогонки.........................................................................................120
Розділ 8. Числове розв'язання рівнянь у частинних похідних.......128
8.1. Основні поняття І визначення..................................................................128
8.2. Метод сіток................................................................................................129
Частина II
СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ СПОСТЕРЕЖЕНЬ...................................................137
Розділ 9. Елементи теорії імовірностей..........................................137
9.1. Основні поняття теорії імовірностей........................................................137
9.2. Основні правила теорії імовірностей, їх висновки..................................140
9.3. Закон розподілу випадкової величини, форми його вираження............145
9.3.1. Ряд розподілу. Багатокутник розподілу............................................145
9.3.2. Функція розподілу...............................................................................146
9.3.3. Щільність розподілу............................................................................147
9.4. Числові характеристики випадкових величин.........................................148
9.5. Деякі закони розподілу випадкових величин..........................................153
9.5.1. Біноміальний розподіл.......................................................................153
9.5.2. Розподіл Пуассона.............................................................................154
9.5.3. Показниковий розподіл......................................................................155
9.5.4. Рівномірний розподіл.........................................................................155
9.5.5. Нормальний розподіл.........................................................................156
9.5.6. Розподіл t..........................................................................................158
9.5.7. f- Розподіл Стьюдента......................................................................158
9.5.8. F- Розподіл ФІшера - Снедекора.....................................................159
Розділ 10. Первинна статистична обробка
експериментальних даних................................................................160
10.1. Проста статистична сукупність..............................................................160
10.2. Статистичний розподіл..........................................................................161
10.3. Графічне зображення статистичного розподілу...................................163
10.4. Емпірична функція розподілу................................................................165
10.5. Числові характеристики статистичного розподілу...............................166
Розділ 1. СТАТИСТИЧНЕ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ..............................................................172
11.1. Постановка задачі..................................................................................172
11.2. Точкові статистичні оцінки.....................................................................173
11.3. Інтервальні оцінки...................................................................................174
11.3.1. Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу..............................................................................175
11.3.2. Довірчі інтервали для оцінки середнього квадратичного відхилення нормального розподілу........................................................177
Розділ 12. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ....................................178
12.1. Основні поняття і визначення................................................................178
12.2. Лінійна кореляція....................................................................................180
12.3. Нелінійна кореляція................................................................................189
Розділ 13. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ..............................................................192
13.1. Основні поняття і визначення................................................................192
13.2. Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей ... 194
13.3. Порівняння вибіркової середньої з гіпотетичною генеральною середньою нормальної сукупності..........................................................196
13.4. Порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей з невідомими дисперсіями (залежні вибірки)............................................198
13.5. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності. Критерій згоди Пірсона............................................................................200
Додатки............................................................................................................205
Список рекомендованої літератури...............................................................214
