Фалин Г. И. Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ / Г. И. Фалин, А. И. Фалин.-М., 2006. — 367 с.: ил. — (Поступаем в вуз)
В книге собрано более 1500 задач по алгебре, предлагавшихся на вступительных испытаниях по математике в Московском государственном университете (как основных, так и предварительных), а также задачи тестов и выпускных экзаменов подготовительного отделения МГУ. Задачи сгруппированы по типам, что позволяет составить представление об основных темах, затрагиваемых на экзаменах, а также об основных методах решения рассматриваемых видов задач. Ко всем задачам даны ответы. Для наиболее характерных задач приведены подробные решения.
Книга будет полезна абитуриентам при подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................................7
Глава 1. Алгебраические преобразования................................................9
1.1. Арифметические вычисления с дробями........................................9
1.2. Многочлены..........................................................................................9
1.3. Алгебраические дроби........................................................................11
1.4. Доказательство неравенств................................................................12
1.5. Радикалы................................................................................................17
1.6. Степени..................................................................................................20
1.7. Логарифмы............................................................................................20
Глава 2. Уравнения............................................................................................27
2.1. Рациональные уравнения..................................................................27
2.2. Уравнения с радикалами....................................................................32
2.3. Показательные уравнения..................................................................42
2.4. Логарифмические уравнения............................................................49
2.5. Функциональные уравнения..............................................................57
Глава 3. Неравенства........................................................................................60
3.1. Алгебраические неравенства..............................................................60
3.2. Задачи с модулями..............................................................................64
3.3. Уравнения и неравенства, включающие функции max и min . 72
3.4. Показательные неравенства..............................................................73
3.5. Логарифмические неравенства.......................................79
3.6. Неравенства с радикалами................................................................93
Глава 4. Системы................................................................................................102
4.1. Метод исключения..............................................................................102
4.2. Метод введения новых неизвестных..................................................108
4.3. Выделение в системе квадратного трехчлена................................113
4.4. Другие специальные преобразования..............................................115
4.5. Графический метод..............................................................................116
4.6. Метод оценок........................................................................................117
Глава 5. Области на координатной плоскости..........................................119
5.1. Многоугольники..................................................................................119
5.2. Фигуры, связанные с окружностью................................................ійО
5.3. Более сложные фигуры ...................................................................123
5.4. Области на двумерной целочисленной решетке............................125
Глава 6. Прогрессии и числовые последовательности..........................128
6.1. Текстовые задачи на прогрессии...........................................128
6.2. Функциональные уравнения для последовательностей..............137
6.3. Суммирование числовых последовательностей............................138
Глава 7. Задачи с целочисленными переменными................................142
7.1. Признаки делимости............................................................................142
7.2. Основная теорема арифметики........................................................142
7.3. Однородные уравнения......................................................................149
7.4. Уравнения вида ах + Ьу = с..............................................................150
7.5. Уравнения, приводимые к виду у = ......................................152
7.6. Деление с остатком..............................................................................155
7.7. Использование оценок........................................................................157
7.8. Прочие задачи......................................................................................160
Глава 8. Текстовые задачи..............................................................................163
8.1. Простые задачи на составление уравнений....................................163
8.2. Задачи на многозначные целые числа............................................165
8.3. Задачи на проценты............................................................................167
8.4. Задачи на смеси и сплавы..................................................................174
8.5. Задачи на совместную работу..........................................................179
8.6. Задачи на движение............................................................................186
8.7. Задачи с целочисленными переменными........................................208
8.8. Прочие задачи......................................................................................210
Глава 9. Задачи с параметрами....................................................................212
9.1. Прямой метод решения......................................................................212
9.2. Геометрический метод решения........................................................221
9.3. Использование свойств инвариантности........................................225
9.4. Использование свойств квадратного трехчлена............................226
Глава 10. Функции................................................................................................232
10.1. Графики..................................................................................................232
10.2. Четность/нечетность..........................................................................233
10.3. Монотонность........................................................................................233
10.4. Область значений................................................................................234
10.5. Экстремумы функций одной переменной......................................236
10.6. Экстремумы функций нескольких переменных............................239
10.7. Экстремумы функций целочисленных переменных....................242
10.8. Текстовые задачи на экстремумы....................................................243
