Фалин Г. И. Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике в МГУ / Г. И. Фалин, А. И. Фалин.— М., 2007.— 327 с.: ил.— (Поступаем в вуз)
В сборнике собрано более 800 задач по тригонометрии, предлагавшихся на вступительных испытаниях по математике в МГУ им. M. В. Ломоносова (как основных, так и предварительных), а также задачи тестов и выпускных экзаменов подготовительного отделения МГУ. Задачи сгруппированы по типам, что позволяет составить представление о характере и сложности экзаменационных задач, а также основных методах их решения. Ко всем задачам даны ответы. Для наиболее характерных и сложных задач приведены подробные решения.
Книга будет полезна абитуриентам при подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................................................................5
Глава 1. Преобразования тригонометрических выражений..............7
1.1. Значения для конкретных углов......................................................7
1.2. Преобразование выражения a sin х + Ь cos х..................................8
1.3. Вычисление значений по заданным условиям..............................8
1.4. Тождества..............................................................................................11
1.5. Тождества для углов треугольника................................................12
1.6. Неравенства..........................................................................................13
1.7. Равенства................................................................................................14
1.8. Прочие задачи......................................................................................16
Глава 2. Свойства тригонометрических функций..................................17
2.1. Четность/нечетность..........................................................................17
2.2. Периодичность......................................................................................17
2.3. Область значений................................................................................18
2.4. Графики..................................................................................................19
2.5. Экстремумы..........................................................................................21
Глава 3. Тригонометрические уравнения..................................................25
3.1. Простейшие тригонометрические уравнения................................25
3.2. Уравнения вида a sin х + Ь cos х = с..................................................26
3.3. Замена у = sinx....................................................................................27
3.4. Замена у = cosx....................................................................................32
3.5. Замены у = tg х, у = ctg х..................................................................37
3.6. Замена у = a sin х + Ь cos х..................................................................39
3.7. Более сложные замены..........................................41
3.8. Расщепление..........................................................................................41
3.9. Отбор корней, расположенных на промежутке............................48
3.10. Отбор корней по другим условиям..................................................53
3.11. Отбор корней, связанный с равносильными преобразованиями 54
3.11.1. Модули..............................................................54
3.11.2. Дроби........................................................................................56
3.11.3. Логарифмы..............................................................................58
3.11.4. Радикалы..................................................................................60
3.12. Графический метод и метод оценок................................................64
3.13. Тригонометрические подстановки....................................................69
3.14. Уравнения, содержащие суперпозиции..........................................72
3.15. Функциональные уравнения..............................................................74
3.16. Задачи с параметрами........................................................................75
Глава 4. Тригонометрические системы......................................................85
4.1. Метод последовательного исключения неизвестных....................85
4.2. Метод новых неизвестных..................................................................89
4.3. Графический метод и метод оценок................................................92
4.4. Задачи с параметрами........................................................................95
Глава 5. Тригонометрические неравенства..............................................97
5.1. Простейшие неравенства и непосредственно сводящиеся к ним 97
5.2. Метод новой неизвестной..................................................................98
5.3. Более сложные неравенства..............................................................102
5.4. Графический метод и метод оценок...................................103
5.5. Функциональные неравенства..........................................................106
5.6. Задачи с параметрами........................................................................106
Глава 6. Обратные тригонометрические функции................................108
6.1. Тождества и преобразования............................................................108 ,
6.2. Графики..................................................................................................110
6.3. Уравнения..............................................................................................111
6.4. Системы уравнений..............................................................................114
6.5. Неравенства..........................................................................................115
6.6. Задачи с параметрами........................................................................116
