Говоров В. М., Дыбов П. Т., Мирошин Н. В., Смирнова С. Ф. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями).— М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 384 с.
Основу сборника составляют задачи, предлагавшиеся на письменных и устных вступительных экзаменах по математике более чем в ста вузах разных профилей. Все задачи снабжены ответами, а ряд задач — указаниями и решениями.
Сборник может быть использован для самостоятельной подготовки к конкурсным экзаменам в вузы различной ориентации, на подготовительных отделениях и курсах. Учителя средних школ найдут в книге материал, который смогут использовать в своей работе.
Настоящий сборник содержит более трех тысяч самых разнообразных задач по всем разделам школьного курса математики. Он составлен в соответствии с ныне действующей программой, все используемые обозначения и терминология соответствуют обозначениям и терминологии, принятым в средней школе.
Основной фонд задач сборника составили задачи, поступившие на отделение математики телевизионных подготовительных курсов Центрального телевидения (отделения математики и физики работали на базе Московского инженерно-физического института). Почти все задачи, включенные в сборник, предлагались на вступительных экзаменах по математике в различных вузах. В сборнике приведены задачи 120 вузов различных городов и республик нашей страны. Авторы стремились представить вузы самых различных профилей наиболее характерными для них задачами, предлагавшимися на вступительных экзаменах. Материал сборника разбит на четыре раздела: алгебра и тригонометрия, начала анализа, геометрия и векторная алгебра, задачи и вопросы устного экзамена.
Материал сборника охватывает оба варианта ныне действующей программы. Кроме того, авторы сочли необходимым включить в сборник материал, относящийся к комплексным числам, элементам комбинаторики, формуле бинома Ньютона, простейшим тригонометрическим неравенствам. При подготовке к вступительным экзаменам в вузы изучение этого материала не обязательно, так как он не входит в программу вступительных экзаменов. Однако этот материал, не входящий в школьную программу и в программу для поступающих в вузы, начинает использоваться при изучении вузовского курса буквально с первых дней и часто без необходимых объяснений. Включение этого материала в сборник поможет читателям расширить свои знания, будет полезно для физико-математических школ, дневных подготовительных отделений, для работы школьных математических кружков.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие........ ....... 5
Раздел I. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции . . . . 7
§ 1. Задачи с целыми числами. Признаки делимости..............7
§ 2. Действительные числа. Преобразования алгебраических выражений ....................................................10
§ 3. Метод математической индукции. Элементы комбинаторики.
Бином Ньютона............................................21
§ 4. Уравнения и неравенства первой и второй степени ..... 30
§ 5. Уравнения высших степеней. Рациональные неравенства . . 35
§ 6. Иррациональные уравнения и неравенства........ 41
§ 7. Системы уравнений и неравенств ...........................49
§ 8. Область определения и множество значений функции .... 62
§ 9. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 67
§ 10. Преобразования тригонометрических выражений. Обратные
тригонометрические функции..............................89
§ 11. Решение тригонометрических уравнений, неравенств и систем
уравнений ..........................................97
§ 12. Прогрессии......................................119
§ 13. Решение задач на составление уравнений..................126
§ 14. Комплексные числа ................................140
Раздел II. Начала анализа .......................................142
§ 1. Последовательности и их пределы. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Пределы функций . .............142
§ 2. Производная. Исследование функций с помощью производной 145
§ 3. Графики функций..........................154
§ 4. Первообразная. Интеграл. Площади криволинейных трапеций 156
Раздел III. Геометрия и векторная алгебра........................162
§ 1. Векторная алгебра..........................................162
§ 2. Планиметрия. Задачи на доказательство......................168
§ 3. Планиметрия. Задачи на построение........................174
§ 4. Планиметрия. Задачи на вычисление........................182
§ 5. Стереометрия. Задачи на доказательство....................193
§ 6. Стереометрия. Задачи на вычисление........................197
Раздел IV. Задачи и вопросы устного экзамена....................218
§ 1. Экзаменационные билеты....................................218
§ 2. Задачи устного экзамена....................................221
§ 3. Программа по математике вступительных экзаменов в вузы . 241
Ответы и методические указания......................................247
Приложение ........................................................368
