Хорошилова Е.В. Элементарная математика: Учеб. пособие для слушателей подготовительных отделений, абитуриентов и старшеклассников. Часть 2. - М.: Изд-во МГУ, 2010.-435 с.
Настоящая книга является продолжением Части 1 учебного пособия того же автора. В ней рассмотрены как теоретические основы базового курса элементарной математики по разделам «Системы уравнений и неравенств», «Задачи на составление уравнений и неравенств: текстовые задачи», «Числовые последовательности. Арифметические и геометрические прогрессии», «Элементы теории множеств и математической логики», так и представлено большое количество задач по указанным разделам.
В книгу включено более 250 разобранных примеров, а также практически полный список задач по математике (с решениями, около 500 задач) за последние 10 лет и ранее, предлагавшихся на вступительных экзаменах в МГУ на всех факультетах, где сдается математика. Задачи сгруппированы по темам и методам.
Пособие предназначено для подготовки к экзаменам по математике как в письменной, так и в устной формах. Книга включает дополнительный материал, расширяющий математический кругозор учащегося и позволяющий использовать её как справочное пособие. Рассматриваются разнообразные приёмы и методы решения задач, их систематизация, в том числе задачи с оригинальными и нестандартными подходами к решению.
Рекомендовано для подготовительных отделений и курсов, старшеклассников, проходящих подготовку к поступлению в высшие учебные заведения такого уровня, как МГУ им. М.В. Ломоносова, МФТИ, МГТУ им. Баумана, МИФИ, МТУСИ, ВШЭ, РЭА им. Плеханова, Финансовая академия, МГИМО и др., где требуется умение решать задачи повышенной сложности. Пособие может быть использовано для дистанционного обучения, а также школьниками при подготовке к сдаче ЕГЭ (наиболее сложной его части) и школьными учителями.
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 1
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
1.1. Системы и совокупности уравнений. Основные понятия. Классификация систем................................................
1.2. Примеры равносильных преобразований систем уравнений и переходов к следствию............................................
1.3. Системы линейных уравнений (неравенств)....................
Метод подстановки (15). Метод исключения неизвестных (16). Метод определителей (17). Графическая интерпретация (20).
1.4. Основные методы решения систем.............................
Метод подстановки (28). Метод алгебраических преобразований уравнений системы (30). Сведение системы к совокупности систем (36). Метод введения новых переменных (39). Графический подход (метод координат) (45). Функциональные методы (52). Другие приёмы и методы (56).
1.5. Системы алгебраических уравнений...........................
Симметрические системы (60). Системы однородных уравнений (64). Системы, в которых число неизвестных не совпадает с числом уравнений (67). Системы, решаемые в целых числах (69). Системы с модулями (72). Системы (дробно-) рациональных уравнений (77). Системы иррациональных уравнений (83). Сведение уравнения к системе уравнений (88). Системы с параметрами (91).
1.6. Неалгебраические системы уравнений.........................
Системы с тригонометрическими функциями (99). Логарифмические и показательные системы (105). Смешанные системы (107).
Раздел 2
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ:
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
2.1. Задачи на движение..........................................
Равномерное движение по прямой (110). Равномерное движение по окружности (119).
2.2. Задачи на концентрацию и процентное содержание.............. 122
2.3. Задачи на работу, производительность труда.................... 126
2.4. Задачи на доли и проценты....................................131
Формулы простых и сложных процентов (134). Понятие среднего процента прироста (136).
2.5. Задачи с «неполными данными», на оптимизацию, получение оценок, общую логику и другие......................................... 137
Раздел 3
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ
3.1. Числовые последовательности. Общие понятия и свойства.......149
Определение и способы задания числовой последовательности (149). Знакопостоянные и знакопеременные последовательности (155). Арифметические операции над последовательностями (155). Ограниченные и неограниченные последовательности. Верхняя и нижняя грани. Наибольший и наименьший члены ограниченной последовательности (156). Монотонные числовые последовательности (161). Вычисление суммы первых YI членов последовательности (170).
3.2. Арифметические прогрессии.................................. 175
Определение арифметической прогрессии (175). Свойства арифметической прогрессии (176). Методы решения задач на арифметические прогрессии (179).
3.3. Геометрические прогрессии...................................185
Определение геометрической прогрессии. Бесконечно убывающие геометрические прогрессии (185). Свойства геометрической прогрессии (185). Методы решения задач на геометрические прогрессии (189).
Раздел 4
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Основные понятия теории множеств (198). Аксиомы. Определения. Теоремы. Леммы (203). Логическое следование. Необходимые и достаточные условия. Критерий, признак, свойство (203). Прямая, обратная, противоположная теоремы. Доказательство от противного (204). Метод математической индукции и его использование при доказательстве утверждений (206).
Раздел 5
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
