Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения

Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения / В. С. Крамор. — М., 2007. — 416 с.: ил. — (Школьный курс математики).
Цель книги — научить школьников и абитуриентов вузов самостоятельно решать задачи с параметрами и помочь прочно усвоить различные методы их решения.
Пособие содержит около 350 типовых задач с методическими указаниями и 300 задач для самостоятельного решения и ответы к ним.
Книга может быть использована при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, к сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.......................3
Тема 1...................................6
Справочный материал............................6
1. Натуральные числа..........................6
2. Простые и составные числа..................6
3. Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби.................7
4. Множество целых чисел, множество рациональных чисел..............7
5. Модуль числа.....................7
6. Возведение рациональных чисел в степень с натуральным показателем...........8
7. Свойства степени с натуральным показателем..........8
8. Числовые выражения. Выражения с переменными. Тождественно равные выражения.............9
9. Одночлены. Многочлены......................9
10. Формулы сокращенного умножения..............9
Задачи с решениями..........................10
Задачи для самостоятельного решения...............12
Ответы ..........................12
Тема 2...................13
Справочный материал ...............13
1. Дробь.........................13
2. Целые и дробные выражения................13
3. Понятие об иррациональном числе ............14
4. Числовые промежутки................14
5. Корень k-й степени из действительного числа....... 14
6. Преобразования арифметических корней..........15
7. Степень с целым и дробным показателем...........16
Задачи с решениями.........................16
Задачи для самостоятельного решения................19
Ответы...................20
Тема 3...................21
Справочный материал....................21
1. Уравнения с одной переменной...............21
2. Понятие о равносильности уравнений.................21
3. Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности уравнений ..................22
4. Линейное уравнение с одной переменной, содержащее параметр.................22
Задачи с решениями ..................23
Задачи для самостоятельного решения ..................32
Ответы ....................33
Тема 4...............34
Справочный материал .....................34
1. Понятие функции..................34
2. Монотонность функции..........................34
3. Четные и нечетные функции........................35
4. Линейная функция и ее график.....................36
5. Квадратичная функция и ее график ..................36
6. Функция y = k/x и ее график.......................37
Задачи с решениями.................38
Задачи для самостоятельного решения....................40
Ответы ....................41
Тема 5.................42
Справочный материал ..................42
1. Квадратные уравнения................42
2. Теорема Виета................43
3. Уравнения с несколькими переменными ......................43
4. Системы уравнений ...................43
Задачи с решениями ..................45
Задачи для самостоятельного решения ....................77
Ответы ..............79
Тема 6.........................81
Справочный материал ........................81
1. Неравенства .....................81
2. Основные свойства неравенств ................81
3. Действия с неравенствами .....................82
4. Решение линейных и квадратных неравенств..............83
Задачи с решениями .................84
Задачи для самостоятельного решения .................113
Ответы ..................114
Тема 7...................115
Справочный материал .................115
1. Системы и совокупности неравенств .................115
2. Решение рациональных неравенств методом промежутков .............116
Задачи с решениями ..................117
Задачи для самостоятельного решения ...................144
Ответы ...................146
Тема 8.....................147
Справочный материал ..................147
1. Применение теоремы Виета к определению знаков корней квадратного трехчлена................147
2. Расположение корней квадратного трехчлена..............148
Задачи с решениями...............152
Задачи для самостоятельного решения ..............167
Ответы .................168
Тема 9...................169
Справочный материал .................169
1. Числовая последовательность...................169
2. Арифметическая прогрессия...................169
3. Геометрическая прогрессия.....................170
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| меньше 1..................171
Задачи с решениями....................172
Задачи для самостоятельного решения.....................174
Ответы.........................175
Тема 10.............................176
Справочный материал.................176
1. Градусное и радианное измерение угловых величин........176
2. Тригонометрические функции числового аргумента .........177
3. Основные тригонометрические тождества................179
4. Формулы приведения.....................179
5. Формулы сложения ......................180
6. Формулы двойного аргумента ............181
7. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму .................181
8. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций .................182
9. Тригонометрические функции половинного аргумента ...................182
10. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента ................183
Тема 11 ................184
Справочный материал ...................184
1. Функция y = sin x..................184
2. Функция y = cos x................185
3. Функция y = tg x...............186
4. Функция y = ctg x................186
5. Нахождение периодов тригонометрических функций.........187
6. Обратная функция ......................187
7. Функция y = arcsin x......................189
8. Функция y = arccos x......................190
9. Функция y = arctg x.....................191
10. Функция y = arcctg x....................192
11. Некоторые соотношения для обратных тригонометрических функций ..................193
Тема 12......................195
Справочный материал ........................195
1. Решение тригонометрических уравнений вида sin x = а..................195
2. Решение тригонометрических уравнений вида cos x = а ..................195
3. Решение тригонометрических уравнений вида tg x = а .................196
4. Решение однородных тригонометрических уравнений.....................196
5. Решение систем тригонометрических уравнений ...........197
Задачи с решениями ..................198
Задачи для самостоятельного решения ................225
Ответы ..........................226
Тема 13........................227
Справочный материал ........................227
1. Решение тригонометрических неравенств вида sin x больше a, sin x меньше a..................227
2. Решение тригонометрических неравенств вида cos x больше a, cos x меньше a...............228
3. Решение тригонометрических неравенств вида tg x больше a, tg x меньше a...............228
Задачи с решениями ................229
Задачи для самостоятельного решения .....................240
Ответы ..................240
Тема 14..............242
Справочный материал ....................242
1. Приращение аргумента и приращение функции..........242
2. Определение производной .................243
3. Производная суммы, произведения, частного ..............244
4. Производная степенной и сложной функции................245
5. Производные тригонометрических функций ................245
6. Применение производной к нахождению промежутков монотонности функции ...............246
7. Критические точки функции, ее максимумы и минимумы ...................247
8. Общая схема исследования функции .......................249
9. Задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значений функции ..............249
10. Касательная к графику функции ..........................250
Задачи с решениями .......................250
Задачи для самостоятельного решения.....................270
Ответы ...................271
Тема 15..................272
Справочный материал................272
1. Потерянные и посторонние корни при решении уравнений..............272
2. Решение иррациональных уравнений, посторонние корни иррационального уравнения..........273
3. Иррациональные неравенства...............274
Задачи с решениями ....................275
Задачи для самостоятельного решения ....................297
Ответы ......................298
Тема 16...............299
Справочный материал .....................299
1. Показательная функция и ее свойства ...................299
2. Показательные уравнения ................300
3. Показательные неравенства ............300
4. Системы показательных уравнений и неравенств .........300
Задачи с решениями .................300
Задачи для самостоятельного решения..................316
Ответы ...................317
Тема 17....................318
Справочный материал ....................318
1. Понятие логарифма...........................318
2. Свойства логарифмов ...........................318
3. Логарифмическая функция, ее свойства и график ......319
4. Теоремы о логарифме произведения, частного и степени. Формула перехода к новому основанию .......320
5. Логарифмирование и потенцирование ....................321
6. Логарифмические уравнения ..............321
7. Логарифмические неравенства..............322
8. Производные логарифмической и показательной функций. Число e.................322
Задачи с решениями ...............323
Задачи для самостоятельного решения ....................350
Ответы ..................352
Тема 18.......................353
Справочный материал .................353
1. Понятие первообразной функции..................353
2. Основное свойство первообразной функции ..............354
3. Криволинейная трапеция и ее площадь .............355
4. Формула Ньютона—Лейбница.................355
5. Основные правила интегрирования ..............356
6. Вычисление площадей с помощью интеграла ............356
Задачи с решениями ..............358
Задачи для самостоятельного решения .....................366
Ответы ...................367
Приложение 1
Текстовые задачи на составление уравнений и неравенств с параметрами...............368
Задачи с решениями ......................368
Задачи для самостоятельного решения .................375
Ответы.................376
Приложение 2
Разные задачи................378
Задачи с решениями...........................378
Задачи для самостоятельного решения ......................402
Ответы ....................404
Список обозначений .............................406
Использованная литература .......................408

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗