Прокофьев А.А. Пособие по геометрии для подготовительных курсов (стереометрия). - М.: МИЭТ, 2004, 240 стр.
Пособие содержит необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач и большое количество задач для самостоятельного решения. Задачи, собранные под одним заголовком, как правило, расположены в порядке возрастающей трудности. В начале каждого пункта расположены основные типовые и опорные задачи. В пособии содержатся задачи разных уровней сложности. Многие из них взяты из вариантов вступительных экзаменов в различные вузы (МГУ, МФТИ, МИЭТ и др.) для того, чтобы учащиеся могли оценить уровень своих знаний и степень подготовки к сдаче вступительного экзамена. Пособие будет полезно школьникам старших классов, учителям средних школ, а также тем, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения.
Содержание
ГЛАВА 1. Введение в стереометрию......................................4
§1.1. Основные понятия..............................................................4
§1.2. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом...........................5
Аксиоматика А. В. Погорелова (5); Аксиоматика Л. С. Атанасяна (7)
ГЛАВА 2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.........................................................................8
§2.1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве................8
§2.2. Взаимное расположение прямой и плоскости..........................10
Параллельность прямой и плоскости (10); Перпендикуляр и наклонная к плоскости (11); Угол между прямой и плоскостью (12); Связь параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (13); Расстояния между объектами в пространстве (14).
§2.3. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве..........17
Параллельные плоскости (17); Двугранные углы и перпендикулярные плоскости (18); Перпендикулярные плоскости (20).
§2.4. Параллельное проектирование.............................................21
Основные свойства параллельного проектирования (22); Изображение различных фигур в параллельной проекции (23) § 2.5. Чертеж в стереометрической задаче и задачи на построение
в стереометрии.......................................................................27
Построения в стереометрии (27). §2.6. Примеры решения задач по вычислению углов между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями................35
Вычисление угла между скрещивающимися прямыми (35); Вычисление угла между прямой и плоскостью (38); Вычисление угла между плоскостями (41).
§2.7. Применение различных методов для решения задач по вычислению расстояния между скрещивающимися прямыми, параллельными
прямой и плоскостью, параллельными плоскостями.......................47
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью (47); Расстояние между скрещивающимися прямыми (48).
Глава 3. Построения в пространстве....................................53
§3.1. Построение плоских сечений многогранников........................53
Метод следов (58); Метод внутреннего проектирования (61); Метод переноса секущей плоскости (63).
§3.2. Вычисление площади сечения.............................................64
§3.3. Геометрические места в пространстве...................................67
Глава 4. Многогранники.....................................................70
§4.1. Призма и параллелепипед...................................................70
Призма (70); Параллелепипед (71); Поверхность призмы и параллелепипеда (71); Объем призмы и параллелепипеда (72).
§4.2. Пирамида.......................................................................76
Высота пирамиды (80).
§4.3. Правильная пирамида.......................................................81
Соотношения между углами в правильной пирамиде (81); Вычисление объема правильной пирамиды (83); Вычисление площади боковой поверхности правильной пирамиды (84).
§4.4. Усеченная пирамида.........................................................85
§4.5. Многогранники. Подобие многогранников.............................88
§4.6. Многогранные углы.........................................................90
§4.7. Соотношение между основными элементами трехгранного угла..94 «Теорема косинусов» для трехгранного угла (94); «Теорема синусов» для трехгранного угла (95).
Глава 5. Круглые тела.......................................................100
§5.1. Цилиндр.......................................................................100
§5.2. Конус...........................................................................105
§5.3. Усеченный конус............................................................110
§5.4. Сфера и шар..................................................................116
Поверхность и объем шара и его частей (118); Объем тела вращения (119); Описанные шары (123); Вписанные шары (125)
Глава 6. Векторный и координатный методы....................133
§6.1. Векторный метод...........................................................133
Скалярное произведение векторов (135); Проекция вектора (136);
§6.2. Метод координат............................................................137
Деление отрезка в данном отношении (139); Уравнения плоскости (140); Уравнения прямой в пространстве (140); Расстояния и углы (141); Уравнение сферы (148).
Глава 7. Задачи по определению наибольших и наименьших
значений............................................................................150
Задачи для самостоятельного решения...............................153
§1. Прямые и плоскости в пространстве......................................154
Принадлежность прямой плоскости (154); Параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей (155); Скрещивающиеся прямые (156); Перпендикулярность прямой и плоскости; плоскостей (157). §2. Углы между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью,
между плоскостями............................................................159
Угол между прямыми в пространстве (159); Угол между прямой и плоскостью (160); Угол между плоскостями (161). §3. Расстояние между объектами в пространстве...........................162
Расстояние между точками, от точки до прямой или плоскости (162); Расстояние между скрещивающимися прямыми (163).
§4. Построения в пространстве..................................................166
Построение точки пересечения прямой и плоскости (166); Построение прямой пересечения плоскостей (166); Построения на изображениях (167); Построение плоских сечений многогранников (168); Задачи на построения в пространстве (170).
§5. Геометрические места в пространстве....................................171
§6. Призма...........................................................................174
Куб и прямоугольный параллелепипед (174); Призма (176).
§7. Пирамида.......................................................................179
Правильная пирамида (179); Произвольная пирамида (180); Усеченная пирамида (183); Трехгранный угол (184).
§8. Круглые тела (цилиндр и конус)...........................................186
Цилиндр (186); Конус (187); Усеченный конус (190); Цилиндр и конус (191); Тела вращения (191).
§9. Круглые тела (сфера и шар).................................................192
Сечение шара и сферы плоскостью (192); Шары и сферы, касающиеся плоскости или вписанные в двугранный угол. Касание шаров и сфер (193); Комбинации шара с многогранниками (195); Полушар (199); Конус и цилиндр (200); Усеченный конус (202); Части сферы и шара (203).
§10. Задачи на экстремальные значения......................................204
Задачи, решаемые геометрическими способами (204); Задачи, решаемые с использованием производной (205). §11. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры в пространстве. Метод координат в пространстве.................................207
Векторы: сложение и умножение на число (207); Прямоугольная система координат (208); Скалярное произведение векторов (209); Уравнение плоскости (212); Уравнение прямой в пространстве (214); Прямая и плоскость в пространстве (214); Уравнение сферы (215). Ответы и указания.............................................................217
Прокофьев А.А. Пособие по геометрии для подготовительных курсов (стереометрия)
