Золотарёва Н.Д., Попов Ю.А., Сазонов В.В., Семендяева H.Л, Федотов М.В. Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями: Учебно-методическое пособие / Золотарёва Н.Д., Попов Ю.А., Сазонов В.В., Семендяева Н.Л., Федотов М.В.; Под ред. М.В. Федотова. — М.: Издательство Московского университета, 2011. — 538 с. («ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз»)
Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М.В.Ломоносова и задач единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
Оглавление
От редактора.................................... 6
Предисловие.................................... 7
Часть I: Теория и задачи 9
1. Элементы теории чисел........................... 9
1.1. Целые числа. Делимость и остатки................ 9
1.2. Уравнения в целых числах..................... 11
1.3. Смешанные задачи на целые числа................ 14
1.4. Рациональные и иррациональные числа............. 17
1.5. Сравнение чисел........................... 19
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции ...................................... 23
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями.................. 23
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями.............................. 27
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства...................... 30
2.4. Смешанные задачи......................... 33
3. Полезные преобразования и замены переменных............ 34
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата.......................... 34
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах........................... 39
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах........................... 42
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах .............. 46
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены............................ 50
4. Нестандартные текстовые задачи..................... 53
4.1. Недоопределённые задачи..................... 53
4.2. Неравенства в текстовых задачах................. 56
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . . 59
5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами ...................................... 63
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости
от значений параметра. Теорема Виета ............. 63
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси............................. 67
5.3. Смешанные задачи......................... 73
6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций.............................. 75
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность,
чётность и нечётность ....................... 75
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности........................ 78
6.3. Функциональные уравнения и неравенства........... 83
6.4. Использование графических иллюстраций ........... 89
7. Метод оценок ................................ 95
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . . 95
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства......... 98
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями..........................104
8. Задачи на доказательство.........................106
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство.........106
8.2. Метод математической индукции.................109
8.3. Доказательство неравенств и тождеств .............111
9. Использование особенностей условия задачи..............114
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной ...............................114
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия...........................118
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия.......123
9.4. Смешанные задачи.........................127
Часть II: Указания и решения 131
1. Элементы теории чисел...........................131
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции ......................................169
3. Полезные преобразования и замены переменных............218
4. Нестандартные текстовые задачи.....................284
5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами ......................................312
6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций ....................................353
7. Метод оценок ................................413
8. Задачи на доказательство.........................458
9. Использование особенностей условия задачи..............491
Ответы.......................................527
Литература.....................................536
Часть 1
Часть 2
