Алгебра. Базовый курс с решениями и указаниями (ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз). Учебно-методическое пособие / Золотарёва Н. Д., Попов Ю.А., Семендяева Н. Л, Федотов М. В. - М., 2010. - 568 с.: ил.
Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
Оглавление
От редактора.................................... 7
Предисловие.................................... 8
Часть I: Теория и задачи 11
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства................................ 11
1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебраических выражений......................... 11
1.2. Сравнение чисел........................... 14
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства с модулем........................ 15
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема Виета................................. 19
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие системы уравнений .......................... 23
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 23
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение переменных при решении систем уравнений........... 26
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные преобразования...................... 29
2.4. Смешанные задачи......................... 33
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические уравнения........................ 34
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, формулы двойного и половинного аргументов.............................. 34
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению........ 37
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений к простейшим........................ 40
3.4. Различные задачи на отбор корней................ 44
4. Стандартные текстовые задачи...................... 46
4.1. Пропорциональные величины................... 46
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии......... 48
4.3. Скорость, движение и время.................... 51
4.4. Работа и производительность................... 55
4.5. Проценты, формула сложного процента............. 56
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства .................................... 59
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических и показательных значений........... 59
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные преобразования...................... 62
5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные преобразования..................... 665.4. Смешанные задачи......................... 70
6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических функций......................... 72
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного аргумента......................... 72
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени, замена тригонометрических выражений............. 74
6.3. Системы тригонометрических уравнений............ 77
6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций, оценочные неравенства.................... 82
7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах различных типов .............................. 86
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных преобразований графиков ................ 86
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат ................................... 91
7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств......................... 93
8. Элементы математического анализа................... 96
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций, основные правила дифференцирования функций....................... 96
8.2. Исследование функций с помощью производной........100
8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила нахождения первообразных. Вычисление площади плоской фигуры с помощью первообразной................104
9. Текстовые задачи..............................108
9.1. Скорость, движение и время....................108
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.........110
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 113
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений........116
10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 119
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями......................119
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях .... 124
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах ....................127
11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах различных видов...........................128
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования.....128
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах .................................131
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 135
11.4. Смешанные задачи.........................139
Часть II: Указания и решения 141
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства................................141
1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебраических выражений.........................141
1.2. Сравнение чисел...........................147
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства с модулем........................152
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема Виета.................................158
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие системы уравнений ..........................166
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 166
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение переменных при решении систем уравнений...........177
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные преобразования......................182
2.4. Смешанные задачи.........................197
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические уравнения........................216
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента, формулы двойного и половинного аргументов . 216
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению........221
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений к простейшим........................230
3.4. Различные задачи на отбор корней................241
4. Стандартные текстовые задачи......................254
4.1. Пропорциональные величины...................254
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.........257
4.3. Скорость, движение и время....................269
4.4. Работа и производительность...................279
4.5. Проценты, формула сложного процента.............284
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства ....................................289
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических и показательных значений...........289
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные преобразования......................296
5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные преобразования.....................309
5.4. Смешанные задачи.........................327
6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических функций.........................341
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного аргумента.........................341
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени, замена тригонометрических выражений.............349
6.3. Системы тригонометрических уравнений............355
6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций, оценочные неравенства....................369
7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов ..............................378
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных преобразований графиков ................378
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат...................................386
7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств.........................395
8. Элементы математического анализа...................406
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций, основные правила дифференцирования функций.......................406
8.2. Исследование функций с помощью производной........409
8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила нахождения первообразных. Вычисление площади плоской фигуры с помощью первообразной................417
9. Текстовые задачи..............................423
9.1. Скорость, движение и время....................423
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.........431
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 439
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений........448
10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 458
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями......................458
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях .... 470
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах ....................480
11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах различных видов...........................490
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования.....490
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах .................................502
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 518
11.4. Смешанные задачи.........................533
Ответы.......................................554
Литература.....................................567
Часть 1
Часть 2
