Гайштут А.Г., Ушаков Р.П. Сборник задач по математике с примерами решений: Для учащихся общеобразовательных школ, лицеев и гимназий. — К., 2002. — 592 с.
Пособие содержит краткое изложение теоретического материала всех тем школьной программы по математике и условия задач к ним, а также примеры решения типичных задач, даны необходимые методические советы.
Для учащихся, учителей и методистов школ, лицеев, гимназий, абитуриентов, студентов педагогических специальностей, изучающих элементарную математику.
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ................................3
Раздел 1. АЛГЕБРА............................5
Действия со степенями......................5
Умножение сумм и многочленов..............5
Формулы сокращенного умножения............6
Разложение многочленов на множители..........7
Разложение многочленов на множители..........8
Преобразование алгебраических выражений ... 11
Уравнения с одной переменной.........13
Уравнения с двумя переменными. Решение систем уравнений.........15
Системы линейных уравнений................16
Решение уравнений с модулями..............20
Преобразования алгебраических выражений ... 23
Задачи на сравнение выражений..............36
Приемы решения уравнений..................38
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители ...............43
Искусственные приемы решения уравнений ... 45
Теорема Везу и ее следствия..................62
Метод неопределенных коэффициентов..........65
Решение иррациональных уравнений............67
Решение уравнений различными методами ....72
Искусственные приемы решения систем уравнений ...........73
Неравенства.............86
Решение неравенств........................86
Доказательство неравенств ..............101
Функции и их графики .......... 107
Наиболее часто встречающиеся графики .........110,
Нахождение площадей фигур, ограниченных линиями .....117
Исследование и решение линейных уравнений с параметрами...........121
Исследование систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.........125
Решение неравенств 1-й степени с параметрами ........131
Решение показательных уравнений.......133
Решение показательно-степенных уравнений ........141
Решение логарифмических уравнений ..........143
Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений....................157
Решение систем показательных и логарифмических уравнений...............160
Решение показательных неравенств............164
Решение логарифмических неравенств..........170
Комплексные числа..................173
Соединения и бином Ньютона................181
Соединения и их виды......................181
Бином Ньютона..........................188
Раздел 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ..................194
Преобразование выражений с тригонометрическими функциями.............194
Доказательство тождеств....................197
Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.............200
Разные задачи...............202
Четность тригонометрических функций..........205
Формулы приведения..........206
Формулы сложения................208
Функции удвоенного и половинного аргумента ...........211
Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму и преобразование суммы тригонометрических функций в произведение......214
Функции кратных аргументов и их использование в преобразовании тригонометрических выражений ...........218
Тождественные преобразования тригонометрических выражений............223
Обратные тригонометрические функции..........229
Решение тригонометрических уравнений ...........238
Нестандартные тригонометрические уравнения ..........261
Условные равенства .......................267
Решение тригонометрических неравенств .........274
Раздел 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ .........277
Индукция....................277
Метод математической индукции..............278
Пределы...................281
Бесконечно малые последовательности ............284
Теоремы о пределах...............285
Бесконечно малые величины.............285
Бесконечно большие величины............286
Предел функции............287
Свойства непрерывных функций..............291
Арифметическая прогрессия..............293
Геометрическая прогрессия........296
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ................297
Нахождение пределов. Функции непрерывного аргумента .............299
Замечательные пределы....................303
Область определения функции................306
Четность.......................307
Производная. Применение производной..........308
Скорость и ускорение......................316
Касательная к графику функции..............317
Возрастание и убывание функции..............321
Монотонность функции...........323
Экстремумы функций......................325
Критические точки функции, максимумы и минимумы 326
Выпуклость функции..............329
Асимптоты.................332
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ..............333
Текстовые задачи на экстремум ........ 336
Построение графика функции ........ 341
Интеграл и его применение............353
Площадь криволинейной трапеции............356
Раздел 4. ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ ..........360
Вертикальные и смежные углы..........361
Параллельные прямые .............362
Соотношение между сторонами и углами в треугольнике ............364
Зависимость между элементами треугольника ............368
Средняя линия треугольника .............368
Параллелограмм.................370
Прямоугольник ................372
Ромб.....................374
Квадрат ................375
Трапеция..................375
Площади фигур.............378
Биссектриса..............381
Медиана...............382
Подобные треугольники ............383
Метрические соотношения между элементами треугольника ..........386
Соотношения в трапеции .........389
Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике .......390
Окружность и круг. Вписанные и некоторые другие углы................391
Вписанные и описанные окружности ..........394
Пропорциональные отрезки в круге....... 398
Четырехугольник, описанный вокруг окружности .........399
Векторы...................404
Координатный метод......................407
Скалярное произведение векторов..............408
Применение векторов к решению задач..........411
Решение задач на построение................413
Раздел 5. ГЕОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ ...........443
Перпендикуляр и наклонная..................444
Правильная треугольная призма..............451
Правильная четырехугольная призма..........452
Правильная шестиугольная призма............454
Неправильная призма......................455
Правильная треугольная пирамида............457
Правильная четырехугольная пирамида..........458
Правильная шестиугольная пирамида..........460
Неправильная пирамида....................461
Ключевые задачи..........................466
Поверхность призмы......................467
Объем призмы............................471
Поверхность пирамиды....................474
Объем пирамиды...................477
Цилиндр. Поверхность и объем цилиндра ............480
Конус. Поверхность и объем конуса............480
Тела вращения..................481
Комбинация геометрических тел..............482
Комбинация призмы с вписанным шаром ..........483
Комбинация призмы с описанным шаром .........487
Комбинация пирамиды с вписанным шаром ..........488
Комбинация пирамиды с описанным шаром .........489
Задачи разные на комбинацию геометрических тел с шаром ..........489
Задачи на повторение.............495
Раздел 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОЗАИКА ..........501
Раздел 7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УЗЕЛКИ ........524
ОТВЕТЫ ................544
