Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов (1990)

Алгебра и начала анализа: Учебник для 10—11 классов средней школы/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.— М.: Просвещение, 1990.— 320 с.
Слово «алгебра» в его названии указывает на то, что с некоторой частью курса вы уже знакомы. Как и в предыдущие годы, значительное внимание будет уделено «буквенному исчислению» — преобразованиям выражений, составлению и решению уравнений, неравенств и их систем. Наряду с решением уже знакомых задач, связанных с многочленами, рациональными дробями, степенями и корнями, вам предстоит расширить область применения алгебры. Будут включены новые сведения из тригонометрии, сведения о логарифмах и т. д.
Принципиально новая часть курса посвящена изучению начал анализа. Математический анализ (или просто анализ) — ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков (в первую очередь И. Ньютона и Г. Лейбница) и сыграл громадную роль в развитии естествознания — появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа (производная, дифференцирование, первообразная, интеграл, метод поиска максимумов и минимумов функций) — одна из важных целей курса. Добавим, что анализ традиционно относят к высшей математике. Элементы анализа вошли в школьный курс сравнительно недавно.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................3
ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1 1. Тригонометрические функции числового аргумента
1. Синус, косинус, тангенс и котангенс (повторение)..........5
2. Тригонометрические функции и их графики..............14
§ 2. Основные свойства функций
3. Функции и их графики.............20
4. Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций..........30
5. Возрастание и убывание функций. Экстремумы ......39
6. Исследование функций.............47
7. Свойства тригонометрических функций. Гармонические колебания ...............54
§ 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств
8. Арксинус, арккосинус и арктангенс..........62
9. Решение простейших тригонометрических уравнений.....67
10. Решение простейших тригонометрических неравенств ....73
11. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений .............78
Сведения из истории................................81
Вопросы и задачи на повторение............88
ГЛАВА II. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 4. Производная
12. Приращение функции..........................95
13. Понятие о производной.............99
14. Понятия о непрерывности и предельном переходе.....106
15. Правила вычисления производных..........110
16. Производная сложной функции..........115
17. Производные тригонометрических функций.......118
§ 5. Применения непрерывности и производной
18. Применения непрерывности............121
19. Касательная к графику функции..........126
20. Приближенные вычисления............131
21. Производная в физике и технике..........133
§ 6. Применения производной к исследованию функции
22. Признак возрастания (убывания) функции.......139
23. Критические точки функции, максимумы и минимумы .... 143
24. Примеры применения производной к исследованию функции ... 147
25. Наибольшее и наименьшее значения функции......150
Сведения из истории................155
Вопросы и задачи на повторение............166
ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 7. Первообразная
26. Определение первообразной...........169
27. Основное свойство первообразной..........172
28. Три правила нахождения первообразных........176
§ 8. Интеграл
29. Площадь криволинейной трапеции..........179
30. Формула Ньютона — Лейбница..........183
31. Применения интеграла.............188
Сведения из истории................193
Вопросы и задачи на повторение............199
ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 9. Обобщение понятия степени
32. Корень n-й степени и его свойства.........201
33. Иррациональные уравнения...........206
34. Степень с рациональным показателем........209
§ 10. Показательная и логарифмическая функции
35. Показательная функция............216
36. Решение показательных уравнений и неравенств.....221
37. Логарифмы и их свойства............224
38. Логарифмическая функция............229
39. Решение логарифмических уравнений и неравенств.....233
40. Понятие об обратной функции..........236
§ 11. Производная показательной и логарифмической функций
41. Производная показательной функции. Число е......241
42. Производная логарифмической функции........245
43. Степенная функция..............248
44. Понятие о дифференциальных уравнениях.......252
Сведения из истории................257
Вопросы и задачи на повторение............261
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
§ 1. Действительные числа..............265
§ 2. Тождественные преобразования...........268
§ 3. Функции..................274
§ 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств .... 282
§ 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения .... 292
Ответы и указания к упражнениям............299
Предметный указатель...............316