Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть II. - М., 1986. - 288с.
Содержит около 600 задач, первая половина которых близка по тематике к школьной программе, а вторая - нестандартна по методам решения или условиям - это задачи по олимпиадной или кружковой тематике. Все задачи снабжены решениями.
Для школьников, преподавателей и студентов пед. институтов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................6
Глава 15. Геометрические неравенства...........7
§ 1. Медиана треугольника..........................8
§ 2. Периметр внешнего многоугольника больше периметра внутреннего.........8
§ 3. Алгебраические задачи на неравенство треугольника ......9
§ 4. Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше суммы длин противоположных сторон .......10
§ 5, Разные задачи на неравенство треугольника .......10
§ 6. Площадь треугольника не больше половины произведения длин двух его сторон..........11
§ 7. Неравенства с площадями..................11
§ 8. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ......12
§ 9, Неравенства, включающие медианы треугольника.....13
§ 10. Неравенства, включающие высоты треугольника ......14
§ 11. Неравенства, включающие углы треугольника .......14
§ 12. Неравенства для прямоугольных треугольников ......15
§ 13. Неравенства, связывающие элементы треугольника.....15
§ 14. Неравенства, включающие площадь треугольника...15
§ 15. Против большей стороны треугольника лежит больший угол...........16
§ 16. Разные неравенства в треугольниках..............16
§ 17. Отрезок, лежащий внутри треугольника, меньше наибольшей стороны................17
§ 18. Перпендикуляр короче наклонной, а отрезок короче ломаной................18
§ 19. Неравенства с углами ...................18
§ 20. Ломаные в квадрате.............19
§ 21. Одна фигура лежит внутри другой ..............19
§ 22. Метод проекций....................19
§ 23. Разные неравенства..................20
Задачи для самостоятельного решения ..............21
Решения....................22
Приложение к главе IS. Некоторые неравенства .........60
Глава 16. Экстремальные задачи.................62
§ 1. Треугольники............... 62
§ 2. Углы.......................64
§ 3. Четырехугольники ...............64
§ 4. Разные задачи................65
§ 5. Экстремальные свойства правильных многоугольников.....66
Задачи для самостоятельного решения ........66
Решения................67
Глава 17. вычисления .....................82
§ 1. Теорема косинусов.......................82
§ 2. Теорема синусов.......................83
§ 3. Вычисление углов......................83
§ 4. Вычисление длин сторон и отрезков .............84
§ 5. Соотношения между элементами треугольников ........85
§ 6. Соотношения в треугольниках..................85
§ 7. Комбинаторика....................86
§ 8. Разные задачи....................86
Задачи для самостоятельного решения...............87
Решения.....................88
Глава 18. Центр масс.............102
§ 1. Основные свойства центра масс............102
§ 2. Теорема о группировке точек ................103
§ 3. Момент инерции.................104
§ 4. Разные задачи..................104
Решения..........................105
Глава 19. Принцип крайнего...............112
§ 1. Наименьший или наибольший угол................112
§ 2. Наименьшее или наибольшее расстояние..........113
§ 3. Симметрия..........................113
§ 4. Системы точек и отрезков..................114
§ 5. Выпуклая оболочка и опорные прямые ...........114
§ 6. Разные задачи....................115
Решения..........................116
Глава 20. Принцип Дирихле..................123
§ 1. Конечное число прямых и т. д................123
§ 2. Углы и длины.....................124
§ 3. Площадь.........................125
Решения....................126
Глава 21. Выпуклые и невыпуклые фигуры..............135
§ 1. Выпуклые многоугольники................135
§ 2. Теорема Хелли......................136
§ 3. Изопериметрическая задача................136
§ 4. Невыпуклые многоугольники.........137
Решения ....................138
Глава 22. Делимость, инварианты, раскраски..............150
§ 1. Чет и нечет................150
§ 2. Делимость............151
§ 3. Вспомогательные раскраски в два цвета .......152
§ 4* Вспомогательные раскраски в,несколько цветов .....153
§ 5. Инварианты........153
§ 6. Задачи о раскрасках........154
Решения.................154
Глава 23. Целочисленные решетки .............165
§ 1. Многоугольники с вершинами в узлах целочисленной решетки...............165
§ 2. Разные задачи.................165
Решения....................166
Глава 24. Разрезания и разбиения...................172
§ 1. Равносоставленность..................172
§ 2. Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ...................173
§ 3. Число кусков при разрезаниях................174
§ 4. Свойства кусков, полученных при разрезаниях .......175
§ 5. Разбиение фигур на отрезки...............175
§ 6. Разные задачи....................175
Решения...................176
Глава 25. Покрытия ..................189
§ 1. Покрытия отрезка.......................189
§ 2. Покрытия многоугольников..............189
§ 3. Замощения костями домино и плитками............190
§ 4. Разные покрытия.......................190
Решения.......................191
Глава 26. Системы точек, отрезков и окружностей .........196
§ 1. Системы точек.............196
§ 2. Системы отрезков и окружностей..................197
Решения....................197
Глава 27. Разное: индукция, вспомогательные раздутия, неподвижные точки, контрпримеры..............202
§ 1. Индукция в геометрии...................202
§ 2. Вспомогательные раздутия...........203
§ 3. Неподвижные точки..................203
§ 4. Контрпримеры.....................203
Решения.....................204
Глава 28. Инверсия..............208
§ 1. Свойства инверсии...............209
§ 2. Сделаем инверсию.................210
§ 3. Построение окружностей..................212
§ 4. Гомотетия и инверсия..............212
§ 5. Цепочки окружностей...............214
§ 6. Поведение расстояний при инверсии............214
§ 7. Касательные к окружностям....................215
§ 8. Вписанно-описанный четырехугольник............215
§ 9. Вписанные многоугольники..........216
§ 10. Построения одним циркулем.................216
Задачи для самостоятельного решения ............217
Решения.....................218
Глава 29. Конические сечения. Линейные проективные преобразования .............242
§ 1. Конрческие сечения.....................242
§ 2. Линейные преобразования.................244
§ 3. Решение задач при помощи линейных преобразований........245
§ 4. Проективные преобразования плоскости............246
§ 5. Решение задач при помощи проективных преобразований плоскости..................249
§ 6. Построения одной линейкой....................250
§ 7. Применение проективных преобразований для решения задач на построение одной линейкой............252
§ 8. Невозможность построений при помощи одной линейки 252
Решения ......................252
Приложение 1. Комплексные числа и планиметрия .........277
Приложение 2. Задачи для самостоятельного решения ..... 282
