Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. 2004.- 560с.
В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.
Оглавление
Предисловие......14
Глава 1. Квадратный трёхчлен......16
1.1. Наименьшее значение квадратного трехчлена.......16
1.2. Дискриминант....................17
1.3. Разные задачи...............17
1.4. Теорема о промежуточном значении...........18
1.5. Уравнение касательной к конике.............19
1.6. Результант.............19
Решения ............19
Глава 2. Уравнения.........26
2.1. Замена переменных..................26
2.2. Угадывание корней................26
2.3. Уравнения с радикалами..........27
2.4. Разные уравнения................27
Решения ...............28
Глава 3. Системы уравнений..........31
3.1. Нахождение всех решений............31
3.2. Нахождение вещественных решений ..........32
3.3. Положительные решения............33
3.4. Количество решений системы уравнений .........33
3.5. Линейные системы уравнений.............34
Решения ....................36
Глава 4. Делимость..........42
4.1. Чёт и нечет...................42
4.2. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики ........43
4.3. Разложения на простые множители.............44
4.4. Признаки делимости .................44
4.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное........45
4.6. Делимость нацело................46
4.7. Делимость на степень простого числа...........46
4.8. Остатки от деления..............47
4.9. Взаимно простые числа............48
4.10. Простые числа...............49
4.11. Арифметика остатков ...............49
Решения ................49
Глава 5. Тождества...........63
5.1. Разложения на множители...............63
5.2. Доказательство тождеств ..............64
5.3. Суммы квадратов................64
5.4. Вспомогательные тождества............64
5.5. Разложения рациональных функций ............65
5.6. Разложения квадратичных функций............65
5.7. Тождества с целыми частями................66
Решения ...................66
Глава 6. Рациональные и иррациональные числа........71
6.1. Сравнение чисел................71
6.2. Иррациональности в знаменателях.............71
6.3. Тождества с радикалами...............72
6.4. Доказательства иррациональности и рациональности ........73
6.5. Сопряжённые числа...............74
6.6. Последовательность Фарея.............74
6.7. Задачи с целыми частями ............75
Решения ...............75
Глава 7. Текстовые задачи.............84
7.1. Решения без вычислений.............84
7.2. Вычисления.............84
7.3. Неравенства...........85
7.4. Целочисленные приближения.............86
7.5. Соответствия .............86
Решения ...............87
Глава 8. Неравенства.................91
8.1. Неравенство ....91
8.2. Неравенство треугольника..............92
8.3. Неравенство Коши.............92
8.4. Монотонность..............93
8.5. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим ..............93
8.6. Неравенства, имеющие геометрическую интерпретацию..............94
8.7. Циклические неравенства .............94
8.8. Разные неравенства..............95
8.9. Выпуклость...........96
8.10. Неравенства Гсльдера и Минковского...........96
Решения .................97
Глава 9. Вычисление сумм и произведений ............110
9.1. Арифметическая и геометрическая прогрессии......110
9.2. Изменение порядка суммирования ...........111
9.3. Суммы ..............111
9.4. Разбиение на пары ...............112
9.5. Вычисление одной суммы двумя способами........113
Решения ................113
Глава 10. Многочлены ...........118
10.1. Выделение полного квадрата ..............118
10.2. Корни многочленов..................118
10.3. Коэффициенты многочлена ..............119
10.4. Теорема Виета.................119
10.5. Делимость ..................119
10.6. Неравенства для корней ..............120
10.7. Количество вещественных корней многочлена......121
10.8. Разные задачи...............121
10.9. Интерполяционные многочлены...............122
10.10. Рациональные функции...............122
10.11. Целозначные многочлены................123
10.12. Многочлены от нескольких переменных..........123
Решения ................124
Глава 11. Тригонометрия ................133
11.1. Неравенства и сравнение чисел...............133
11.2. Тригонометрические тождества.............134
11.3. Уравнения ..............134
11.4. Суммы синусов и косинусов, связанные с правильными многоугольниками..............135
11.5. Вычисление сумм и произведений............136
11.6. Выражения для cosтр и т.п.............137
11.7. Вспомогательные тригонометрические функции.....137
11.8. Тригонометрические многочлены..............138
Решения ..............138
Глава 12. Уравнения в целых числах ..........149
12.1. Пифагоровы тройки..............149
12.2. Нахождение всех решений............150
12.3. Нахождение некоторых решений ............151
12.4. Доказательство конечности числа решений........151
12.5. Уравнение Пелля................151
12.6. Уравнение Маркова...............152
Решения ..............152
Глава 13. Индукция .............160
13.1. Вычисление сумм ...............160
13.2. Неравенства...............160
13.3. Доказательство тождеств ...............161
13.4. Разные задачи...............162
Решения .............162
Глава 14. Комбинаторика ............166
14.1. Элементы комбинаторики............166
14.2. Тождества для биномиальных коэффициентов ......167
14.3. Формулы с биномиальными коэффициентами.......168
14.4. Бином Ньютона в арифметике.............168
14.5. Комбинаторика в арифметике.............168
14.6. Неравенства для биномиальных коэффициентов.....169
14.7. Арифметика биномиальных коэффициентов........169
14.8. Формула включений и исключений..........169
14.9. Аналоги биномиальных коэффициентов..........170
14.10. Числа Каталана...............170
14.11. Элементы теории вероятностей.............172
Решения ................173
Глава 15. Рекуррентные последовательности .........181
15.1. Общие свойства.................187
15.2. Числа Фибоначчи...............188
15.3. Числа Фибоначчи и алгоритм Евклида...........189
15.4. Числа Фибоначчи в комбинаторике.............189
15.5. Специальные рекуррентные последовательности.....190
Решения ..............190
Глава 16. Примеры и конструкции .........196
16.1. Наборы чисел ................196
16.2. Бесконечные последовательности............197
16.3. Последовательности операций..............197
16.4. Многочлены и рациональные функции...........197
16.5. Функции ...............198
16.6. Разные примеры и конструкции............198
Решения ..................199
Глава 17. Принцип Дирихле. Правило крайнего.........204
17.1. Остатки от деления..............204
17.2. Последовательности...............205
17.3. Разные задачи..............205
17.4. Приближения иррациональных чисел рациональными .........205
17.5. Правило крайнего................206
Решения ...............207
Глава 18. Инварианты и полуинварианты........213
18.1. Остатки от деления................213
18.2. Полуинварианты...............214
18.3. Чётность перестановки...............214
Решения ..................216
Глава 19. Логика.........220
19.1. Логические задачи ................220
19.2. Логические парадоксы...............221
19.3. Логика высказываний.............222
Решения ...............223
Глава 20. Стратегии. Турниры. Таблицы .......226
20.1. Выбор стратегии ..............226
20.2. Переливания...............227
20.3. Турниры .............227
20.4. Взвешивания............228
20.5. Таблицы...............229
Решения ...............230
Глава 21. Системы счисления .........238
21.1. Последние цифры................238
21.2. Первые цифры.................238
21.3. Другие цифры.................239
21.4. Сумма цифр...............239
21.5. Разные задачи о десятичной записи ............239
21.6. Репьюниты и периоды десятичных дробей ........240
21.7. Определение d-ичной записи числа...........241
21.8. Двоичная система................241
21.9. Другие системы счисления............242
21.10. Другие представления чисел............242
Решения ...................243
Глава 22. Графы .......251
22.1. Обходы графов ...................252
22.2. Ориентированные графы.................252
22.3. Паросочетания................252
Решения ..............253
Глава 23. Комплексные числа .....257
23.1. Тождества и неравенства для комплексных чисел ...........258
23.2. Формула Муавра .............258
23.3. Корни из единицы.............259
23.4. Корни многочленов............261
Решения ...............261
Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах ........267
24.1. Решение кубических уравнений...........268
24.2. Дискриминант кубического многочлена..........268
24.3. Решение уравнений 4-й степени............269
24.4. Другие уравнения, разрешимые в радикалах.......269
Решения ..........269
Глава 25. Предел последовательности .....274
25.1. Свойства пределов................274
25.2. Теорема Вейерштрасса..............275
25.3. Вычисление пределов..............276
25.4. Число е.............278
25.5. Сопряженные числа.................278
25.6. Точная верхняя грань...............279
Решения ...............279
Часть 1
Глава 26. Непрерывные и разрывные функции ......290
26.1. Монотонные функции..............290
26.2. Периодические функции............290
26.3. Предел функции..............290
26.4. Непрерывность................291
26.5. Теорема о промежуточном значении............292
26.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.......292
26.7. Выпуклые функции..................293
26.8. Равномерная непрерывность...............294
26.9. Функции ограниченной вариации............294
Решения ..................295
Глава 27. Логарифм и показательная функция ........301
27.1. Определение показательной функции и логарифма ......301
27.2. Показательная функция ................302
27.3. Тождества для логарифмов ..............302
27.4. Неравенства и сравнения чисел...........302
27.5. Иррациональность логарифмов...............303
27.6. Некоторые замечательные пределы...........303
27.7. Гиперболические функции...............303
Решения ..................304
Глава 28. Производная .........309
28.1. Определение производной ..............309
28.2. Производные элементарных функций............310
28.3. Кратный корень многочлена.................311
28.4. Производная многочлена...................311
28.5. Тождества .....................312
28.6. Касательная и нормаль..................312
28.7. Функции, дифференцируемые на отрезке.........313
28.8. Неравенства..................315
28.9. Правило Лопиталя....................316
28.10. Количество корней уравнения.............316
28.11. Периодические функции...................316
28.12. Нормированные симметрические функции.........317
28.13. Алгебраические и трансцендентные функции.......317
28.14. Формула Тейлора..................318
Решения ..................319
Глава 29. Интеграл............336
29.1. Неопределенный интеграл..................336
29.2. Определённый интеграл ...................337
29.3. Вычисление интегралов....................339
29.4. Вычисление площадей.....................340
29.5. Вычисление объёмов .....................340
29.6. Длина кривой .........................341
29.7. Площадь поверхности.....................341
29.8. Неравенства..........................342
29.9. Вычисление пределов.....................343
29.10. Тождества ...........................343
29.11. Примеры и конструкции...................344
29.12. Несобственные интегралы..................344
Решения .....................344
Глава 30. Ряды ..............357
30.1. Вычисление бесконечных сумм .............357
30.2. Вычисление бесконечных произведений ..........357
30.3. Гармонический ряд.................358
30.4. Ряд для логарифма.................359
30.5. Ряды для числа ж..................360
30.6. Экспонента в комплексной области.............361
30.7. Доказательства неравенств .................361
30.8. Сходящиеся и расходящиеся ряды .............361
30.9. Сходимость бесконечных произведений..........362
Решения ................362
Глава 31. Элементы теории чисел ........З71
31.1. Малая теорема Ферма ....................371
31.2. Псевдопростые числа.....................371
31.3. Функция Эйлера........................372
31.4. Теорема Вильсона.......................372
31.5. Задачи о сравнениях .....................373
31.6. Функция. Делители ..................374
31.7. Квадратичные вычеты....................375
31.8. Квадратичный закон взаимности..............376
31.9. Гауссовы суммы........................377
31.10. Суммы двух квадратов....................378
31.11. Суммы четырех квадратов..................379
31.12. Первообразные корни по простому модулю........380
31.13. Первообразные корни по составному модулю.......381
31.14. Теорема Чебышёва о простых числах ...........382
Решения ..................382
Глава 32. Многочлены II ..............404
32.1. Разделение корней....................404
32.2. Неприводимые многочлены ...............406
32.3. Симметрические многочлены..............409
32.4. Многочлены Чебышёва.................412
32.5. Алгебраические и трансцендентные числа.........413
32.6. Присоединение корня многочлена.............415
Решения ....................415
Глава 33. Алгоритмы и вычисления..........421
33.1. Вычисления некоторых чисел................427
33.2. Арифметические операции. Многочлены..........428
33.3. Сортировка...........................428
33.4. Криптография с открытым ключом ............430
Решения .............431
Глава 34. Функциональные уравнения.........431
34.1. Метод подстановки...................437
34.2. Функциональные уравнения для многочленов.......438
34.3. Функциональные уравнения для произвольных функций .....439
34.4. Функциональные уравнения для непрерывных функций .......440
34.5. Функциональные уравнения для дифференцируемых функций...........440
Решения .................441
Глава 35. Цепные дроби .........450
35.1. Определение и основные свойства..............450
35.2. Наилучшие приближения...................452
35.3. Цепные дроби и уравнение Пелля..............452
Решения ................453
Глава 36. Формальные ряды и производящие функции 458
36.1. Формальные ряды.................458
36.2. Формальная производная..............459
36.3. Корень из формального ряда.............459
36.4. Экспонента и логарифм ............460
36.5. Тождества для формальных рядов.............461
36.6. Производящие функции....................461
36.7. Числа и многочлены Бернулли.............462
36.8. Число разбиений.................462
36.9. Формулы Варинга................463
Решения .................464
Глава 37. Исчисление конечных разностей ..........474
37.1. Свойства конечных разностей.............474
37.2. Обобщённая степень .....................475
37.3. Формула суммирования Эйлера...............476
Решения .............476
Глава 38. Кривые на плоскости ...........479
38.1. Полярные координаты................480
38.2. Огибающая семейства кривых.............480
38.3. Кривизна...............483
38.4. Соприкасающаяся окружность ............483
38.5. Фокальные точки. Эволюта..............485
Решения ....................486
Глава 39. Теория множеств ...........493
39.1. Конечные множества.................493
39.2. Операции над множествами.............493
39.3. Равномощные множества................494
39.4. Счетные множества..................495
39.5. Мощность континуума....................495
39.6. Свойства мощности......................496
39.7. Парадоксы теории множеств ................496
Решения .................497
Дополнение........501
1. Рациональная параметризация окружности........501
2. Суммы квадратов многочленов...............504
3. Представление чисел в виде суммы двух квадратов ......507
4. Построение правильного 17-угольника...........509
5. Построения циркулем и линейкой..............512
6. Хроматический многочлен графа..............519
7. Трансцендентность чисел е и ж...............522
8. Разрешимость уравнений в радикалах...........526
9. Диофантовы уравнения для многочленов .........538
10. Теорема Ван дер Вардена об арифметической прогрессии543
11. Происхождение математических терминов ........547
Указатель имён......550
Предметный указатель.......552
Часть 2
