Александров П.С., Колмогоров А.Н. Введение в теорию функций действительного переменного: Учеб. пособие. - М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1933 - 269 с.
Основные понятия, с которыми читатель встретится в этой книге, — понятия действительного числа, функции, непрерывной функции, производной и интеграла —должны быть знакомы ему уже из элементарного курса математического анализа. Однако только после накопления известного запаса аналитических фактов возникает действительно обоснованная потребность вновь вернуться к упомянутым основным понятиям и исследовать их со всей логической строгостью. В результате этого углубленного изучения, помимо выигрыша в ясности и строгости основных понятий, приходят естественным путем и к обобщению некоторых из основных понятий из анализа. Особенное значение для дальнейшего развития всей математики имеет обобщение понятия интеграла.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть первая. Глава первая
О бесконечных множествах
§ 1. Понятие множества............. .............7
§ 2. Взаимно однозначное соответствие множеств . ...............8
§ 3. Операции над множествами ..............................13
§ 4. Теоремы отчетности множеств........ . ...........17
Глава вторая. Действительные числа
§ 1. Дедехиндовское определение иррационального числа . . . . . 26
§ 2. Упорядоченность множества действительных чисел 32
§ 3. Сечения во множестве действительных чисел................36
§ 4. Геометрическое изображение действительных чисел..........40
§ 5. Верхняя и нижняя грани точечного множества..............43
$ 6. Действия над действительными числами.............. 51
§ 7. Разложение действительных чисел в бесконечные десятичные дроби.........57
§ 8. Несчетность множества всех действительных чисел............61
Глава третъя. О предельных точках множеств
§ 1. Определение и примеры предельных, точек..................66
§ 2. Основные определения теории точечных множеств. Теорема Больцано-Вейерштрасса..........70
§ 3. Сходящиеся множества........................73
§ 4. Сходящиеся последовательности.......... 76
§ 5. Производные множества и замыкания............82
§ 6. Точки конденсации..........................89
Глава четвертая. Строение замкнутых множеств
§ 1. Канторово совершенное множество............. 95
§ 2. Произвольные замкнутые множества............107
§ 3. Области и внутренние точки.......................116
§ 4. Канторово множество как прототип всех совершенных всюду разрывных множеств........119
Глава пятая. Непрерывные функции
§ 1. Определение и примеры непрерывных функций......129
§ 2. Элементарные свойства непрерывных функций ........ 138
§ 3. Простейшие примеры разрывных функций..........144
§ 4. Пределы переменных величин ...............149
§ 5. Последовательности функций................152
Часть вторая. Глава шестая
Измеримые множества и измеримые функции
§ 1. Дальнейшие свойства замкнутых множеств 161
§ 2. Теорема Бореля-Лебега ............167
§ 3. Понятие меры множества. Измеримые множества......169
§ 4. Основные теорейы о мере множеств ............173
§ 5. Теорема Витали .....................185
§ 6. Некоторые замечания о так называемых В и А множествах. . 188
§ 7. Измеримые функции............. ........191
Глава седьмая. Интегралы Римана и Стилтьеса
§ 1. Интеграл Римана...............203
§ 2. Верхний и нижний интегралы................204
§ 3. ПервЪе условие интегрируемости по Риману........206
§ 4. Условие Лебега......................208
§ 5. Примеры из теории вероятностей и механики ..........211
§ 6. Интегралы Стилтьеса................... 215
§ 7. Функции с ограниченным изменением и монотонные функции ...........218
§ 8. Основные свойства интеграла Стилтьеса...........226
Глава восьмая Производная
§ 1. Множество точек существования производной .......229
§ 2. Примеры разрывных производных ..............231
§ 3. Определение примитивной по производной.........233
§ 4. Производная неопределенного интеграла Римана .............235
§ 5. Правая и левая производная .............. .236
§ 6. Производная принимает все промежуточные значения .... 237
§ 7. Верхняя и нижняя производная...............238
Глава девятая Интеграл Лебега
§ 1. Вводные замечания ..................242
§ 2. Определение интеграла Лебега для ограниченных функций ...... 243
§ 3. Связь с интегралом Римана............... 245
§ 4. Дальнейшие свойства интеграла Лебега...........247
§ 5. Неопределенный интеграл и отыскание примитивных .... 250
§ 6. Интегрирование последовательностей............253
§ 7. Сведение интегрирования разрывных функций к интегрированию непрерывных ..........254
§ 8. Производная неопределенного интеграла Лебега.......258
§ 9. Точки плотности измеримого множества ..........258
§ 10. Диференцируемость функций, удовлетворяющих условию Липшица..............260
§ 11. Интеграл Лебега для неограниченных функций.......262
§ 12. Указатель.........................264
Математика / Математика для студентов, аспирантов и научных работников / ТФКП и операционное исчисление, функциональный анализ и интегральные уравнения
Александров П.С., Колмогоров А.Н. Введение в теорию функций действительного переменного
