Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций

Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. -М.-Л.: ОГИЗ, 1948.- 413с.
Первая часть книги П.С. Александрова и А.Н. Колмогорова "Введение в теорию множеств и теорию функций". Книга посвящена теории множеств, теории функций действительной переменной, теории метрических и топологических пространств. Книга давно стала библиографической редкостью и незаслуженно забыта. Не в последнюю очередь это произошло потому, что автор задумал сделать второе переработанное издание этой книги, которое в процессе написания фактически превратилось в другую книгу с другим содержанием и уровнем изложения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................... S
Глава первая. О бесконечных множествах..... 13
§ 1. Понятие множества..............................13
§ 2. Подмножества. Операции над множествами ... 14
§ 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Отображение одного множества на другое.
Разбиение множества на подмножества............18
§ 4. Теоремы о счетных множествах..................25
§ 5. Понятие об упорядоченном множестве............31
§ 6. О сравнении мощностей..........................36
Глава вторая. Действительные числа....... 44
§ 1. Дедекиндовское определение иррационального числа 44
§ 2. Сечения в множестве действительных чисел. Верхняя и нижняя грани..........................48
§ 3. Действия над действительными числами..........54
§ 4. Разложение действительных чисел в двоичные дроби. Мощность континуума......................60
Глава третья. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа ... 67
§ 1. Упорядоченные множества............ 67
§ 2. Определение и примеры вполне упорядоченных множеств ...................... 73
§ 3. Основные теоремы о вполне упорядоченных множествах..................... 79
§ 4. Счётные трансфинитные числа (порядковые числа второго класса). Понятие конфинальности. Аксиома
произвольного выбора.............. 88
§ 5. Теорема Цермело................ 99
§ 6. Теоремы о кардинальных числах......... 107
§ 7. Регулярные и иррегулярные порядковые числа. О наименьшем начальном числе, которому конфинален данный порядковый тип........... 118
Глава четвертая. Множества на прямой и на плоскости.............................121
§ 1. Простейшие определения и примеры....... 123
§ 2. Дальнейшие предложения теории точечных множеств. Открытые и замкнутые множества на прямой 128
§ 3. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Канторово совершенное множество............133
§ 4. Общие теоремы о совершенных множествах на прямой. Точи и конденсации ................146
§ 5. Ограниченные множества; теоремы Больцано-Вейерштрасса, Кантора и Бореля-Лебега 150
§ 6. Замечания о множествах, расположенных на плоскости ........ ............. 159
§ 7. Множества F3 и множества первой и второй категории................. . . 163
Глава пятая. Действительные функция одного действительного переменного- ........... 170
§ 1. Непрерывность и пределы функций. Элементарные свойства непрерывных функций ....... 170
§ 2. Точки разрыва первого и второго рода. Точки поправимого разрыва ............... 174
§ 3. Монотонные функции .............. 139
§ 4. Функция с ограниченным измернеием...... 193
§ 5. Последовательности функций; равномерная и неравномерная сходимость ............. 211
§ 6. Вопрос об аналитическом изображении функций; теорема Вейерштрасса; понятие о классификации Бэра
§ 7. Производная ...................
§ 8. Правая и левая производные; производная принимает все промежуточные значения; верхняя и нижняя производные ....................219
§ 9. Пример непрерывной функции не имеющей производной ни в одной точке...................228
Глава шестая. Точечные множества в метрических пространствах ................ 226
§ 1. Определение метрического пространства............226
§ 2. Евклидовы пространства; замечание о метрическом произведении; гильбертово пространство..........228
§ 3. Элементарные предложения теории точечные множеств ..........................233
§ 4. Замкнутые множества метрического пространства .......237
§ 5. Открытые множества метрического пространства R. Внутренние точки множества относительно пространства R. . ...........................239
§ 6. Борелевские множества. . ........ .244
§ 7. Замкнутые и открытые и данном множестве Е подмножества множества ..... 249
§ 8. Множества, всюду плотные и нигде не плотные в данном пространстве.............. 250
§ 9. Связность 2S6
§ 10. Некоторые замечания об открытых множествах евклидовых пространств ............. 264
§ 11. Пространства со счётной базой ......... 267
§ 12. Непрерывные отображения ............ 278
§ 13. Теорема о продолжении непрерывных функции, заданных на замкнутых множествах . ...... 284
Прибавление к главе шестой: Топологические пространства............... 237
Глава седьмая. Компактные и полные пространства 313
§ 1. Компактность в данном пространстве и компактность в себе ......................312
§ 2. Непрерывные отображения компактов ...... 320
§ 3. Связность в компактных пространствах ..... 330
§ 4. Компакты как непрерывные образы канторов а совершенного множества .............. 340
§ 5. Определение )( примеры полных метрических пространств .........................351
§ 6. Пополнение метрического пространства ...... 357
§ 7. Простейшие свойства полных метрических пространств .................... 362
§ 8. Компактность и полнота. Теорема Урыеона о погружении ...... ......... ..... 354
§ 9. Локально компактные метрические пространства . . 369
§ 10. Множества, являющиеся одновременно множествами F и G в компактных метрических пространствах .. 374
Прибавлении к главе седьмой....... . . 380
Первое прнбавление: Бикомпактные пространства 380
Второе прибавление: О квазиравномерной сходимости...........................496

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗