Боярчук А. К. Справочное пособие по высшей математике. Т. 4: Функции комплексного переменного: теория и практика. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352 с.
«Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной.
Том 4 является логическим продолжением трех предыдущих ориентированных на практику томов н содержит более четырехсот подробно решенных задач, но при этом отличается более детальным изложением теоретических вопросов и может служить самостоятельным замкнутым курсом теории функций комплексного переменного. Помимо вопросов, обычно включаемых в курсы такого рода, в книге излагается ряд нестандартных — таких, как интеграл Ньютона—Лейбница и производная Ферма—Лагранжа.
Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику.
Оглавление
Предисловие 3
Глава 1. Основные структуры математического анализа 4
§ 1. Элементы теории множеств и отображений 4
Некоторые логические символы (4) Обозначения, используемые в теории множеств (5) Натуральные числа. Метод математической индукции (5) Простейшие операции над множествами (6) Упорядоченная пара и декартово произведение множеств (7) Бинарные отношения. Проекции и сечения бинарного отношения. Обратное бинарное отношение (7) Функциональное бинарное отношение. Функция и простейшие понятия, связанные с нею (8) Обратная функция. Композиция отображений (9) Параметрическое и неявное отображения (9) Изоморфизм (10)
§ 2. Математические структуры 10
Группа (10) Кольцо (10) Тело (10) Поле (11) Векторное пространство над полем К. Нормированное пространство (11)
§ 3. Метрические пространства 12
Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического пространства (12) Шары, сферы, диаметр множества (13) Открытые множества (14) Внутренность множества (15) Замкнутые множества, точки прикосновения, замыкание множества (16)
§ 4. Компактные множества 18
§ 5. Связные пространства и связные множества 70
§ 6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое Предел и непрерывность отображения (20) Непрерывность композиции отображений (21) Непрерывность обратного отображения (22) Предел и непрерывность отображения в смысле Коши. Некоторые свойства непрерывных отображений (22) Равномерно непрерывные
отображения (24) Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния (25)
Глава 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного 26
§ 1. Комплексные числа и комплексная плоскость 76
Определение комплексного числа (26) Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы его записи. Умножение и деление комплексных чисел. Операция извлечения корня из комплексного числа (28) Стереографическая проекция и ее свойства (29) Примеры (31)
§ 2. Топология комплексной плоскости. Последовательности комплексных 43 чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте Топология комплексной плоскости (43) Замкнутые множества, отрезок и ломаная. Связные множества (45) Последовательность комплексных чисел и ее предел (45) Свойства компакта КсС (47) Предел и непрерывность функции комплексного переменного (48) Арифметические операции над пределами и непрерывными функциями (49) Предел и непрерывность композиции функций (49) Свойства функций, непрерывных на компакте (50)
§ 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области 50 Примеры (53)
§ 4. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Связь между 63 С-дифференцируемостью и R2 -дифференцируемостью. Аналитические функции Определение дифференцируемой функции. Правила дифференцирования (63) Дифференциал функции (66) Критерий дифференцируемое функции комплексного переменного (67) Аналитические функции (68) Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения (70) Плоские физические поля и их связь с аналитическими функциями (71) Неравенство Лагранжа (73) Примеры (73)
Упражнения для самостоятельной работы 79
Глава 3. Элементарные функции в комплексной плоскости 83
§ 1. Дробно-линейные функции и их свойства 83 Определение дробно-линейной функции. Конформность отображения (83) Геометрические свойства дробно-линейных отображений (84) Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы (86) Примеры (88)
§ 2. Степенная функция w = z" (n e N, п > 2). Многозначная функция w — yz 41 и ее поверхность Римана Степенная функция (91) Многозначная функция w — yz и ее поверхность Римана (92) Примеры (93)
§ 3. Показательная функция w = ez и многозначная функция z=Ln w 94 Показательная функция w = ez (94) Многозначная функция z=Ln w (96) Примеры (96)§ 4. Общая степенная и общая показательная функции 97 Общая степенная функция (97) Общая показательная функция (98)
§ 5. Функция Жуковского 99 Определение функции Жуковского. Конформность (99) Примеры (100)
§ 6. Тригонометрические и гиперболические функции 101 Примеры (105)
Упражнения для самостоятельной работы 145
Глава 4. Интегрирование в комплексной плоскости. Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши 149
§ 1. Интеграл Ньютона — Лейбница 149 Первообразная (149) Интеграл Ньютона — Лейбница (150) Линейность интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям (757)
§ 2. Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков 153 Определение и-производной и и-интеграла (153) Формула Ньютона — Лейбница. Производные по пределам интегрирования (154) Формула Тейлора(156)
§ 3. Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано 156 Производная Ферма — Лагранжа (156) Теорема Тейлора — Пеано и ее обращение (157)
§ 4. Криволинейные интегралы 159 Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой (759) Гомотопия двух кривых (путей) (161)
§ 5. Теорема и интеграл Коши 162 Существование локальной первообразной аналитической функции (162) Первообразная вдоль кривой (вдоль пути) (165) Теорема Коши
(166) Интегральная формула Коши (172) Примеры (173)
§ 6. Интеграл типа Коши 175 Определение и основное свойство интеграла типа Коши (775) Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части (177) Теоремы Лиувилля и Морера (178) Главное значение и предельные значения интеграла типа Коши (179) Формулы Шварца и Пуассона (181) Примеры (184)
Упражнения для самостоятельной работы 195
Глава 5. Ряды аналитических функции. Изолированные особые точки 197
§ 1. Ряд Тейлора 197 Общие сведения о рядах (197) Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость (198) Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда (199) Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов (201) Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда (203) Степенные ряды (206) Теорема Тейлора (208) Теорема
единственности (210) Примеры (212)
§ 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 219 Теорема Лорана (219) Классификация изолированных особых точек в С (227) Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке (222) Бесконечная изолированная особая точка (224) Примеры (225)
Упражнения для самостоятельной работы 229
Глава 6. Аналитическое продолжение 231
§ 1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути 232 Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения (232) Аналитическое продолжение вдоль пути (234) Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути (235)
§ 2. Полные аналитические функции 237 Понятие полной аналитической функции (237) Примеры полных аналитических функций (238) Особые точки полной аналитической функции (239) Существование особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (240)
§ 3. Принципы аналитического продолжения 240 Примеры (241)
Упражнения для самостоятельной работы 243
Глава 7. Вычеты и их применения 245
§ 1. Определение вычета. Основная теорема 245 Вычет относительно изолированной конечной точки (245) Вычет относительно бесконечности (246) Теорема о вычетах (247) Примеры
(248)
§ 2. Целые и мероморфные функции 257 Целые функции (257) Мероморфные функции. Теорема Миттаг-Леффлера (257) Разложение мероморфных функций на простейшие
дроби (259) Примеры (262)
§ 3. Бесконечные произведения 264 Числовые бесконечные произведения (265) Равномерно сходящиеся бесконечные произведения (267) Представление целой функции в виде бесконечного произведения (267) Разложение sinz в бесконечное произведение (26Р) Род и порядок целой функции (270) Мероморфная функция как отношение двух целых функций (270) Примеры (271)
§ 4. Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов 274 Применение вычетов для вычисления определенных интегралов (274) Применение вычетов к вычислению сумм рядов (278) Примеры (279)
Упражнения для самостоятельной работы 291
Глава 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций 295
§ 1. Принцип аргумента. Теорема Руше 295 Вычисление интеграла Г dz (295) Теорема о 2га'е"Ь/0)~Л логарифмическом вычете (296) Принцип аргумента (296) Теорема
Руше (297) Примеры (298)
§ 2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции 300 Принцип сохранения области (300) Локальное обращение аналитических функций (301) Примеры (303)
§ 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции 304 Принцип максимума модуля аналитической функции (304) Лемма Шварца (305) Примеры (305)
§ 4. Принцип компактности. Функционалы на семействе аналитических функций Равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные семейства функций (308) Принцип компактности (309) Функционалы, определенные на множествах функций (310) Теорема Гурвица (311)
§ 5. Существование и единственность конформного отображения 312 Конформные изоморфизмы и автоморфизмы (312) Примеры автоморфизмов (312) Существование и единственность изоморфизмов областей, изоморфных единичному кругу (313) Теорема существования (314)
§ 6. Соответствие границ и принцип симметрии при конформном отображении Теорема о соответствии границ (315) Принцип симметрии (316) Примеры (317)
§ 7. Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца Отображение верхней полуплоскости на многоугольник (318) Случай многоугольника, имеющего вершины в бесконечности (322) Отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника (322) Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник (323) Эллиптический синус и его двоякая периодичность (324) Отображение единичного круга на многоугольник (326) Примеры (328)
Упражнения для самостоятельной работы 332
Ответы 334
Литература 338
Предметный указатель 339
