Антоневич А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения : учебник

Антоневич А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения : учебник / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. 2-е изд., перераб. и доп. - Минск, 2006. — 430 с.
Учебник по курсу «Функциональный анализ и интегральные уравнения» написан в соответствии с программой для математических специальностей университетов. Содержит основные понятия и теоремы теории меры и интеграла Лебега, метрических пространств, нормированных пространств и линейных операторов в них, топологических векторных пространств и теории обобщенных функций.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов..................................................... 3
Глава I. Теория меры .......................................... 5
§ 1. Предварительные сведения................................... 5
§ 2. Кольца и полукольца множеств.............................. 13
§ 3. Необходимость пересмотра понятия интеграла. Общее понятие меры......18
§ 4. Продолжение меры по Лебегу ............................... 29
§ 5. Мера Лебега на прямой ...................................... 38
§ 6. Меры Лебега — Стилтьеса ................................... 44
Глава II. Интеграл Лебега .................................... 50
§ 7. Измеримые функции ......................................... 50
§ 8. Интеграл Лебега. Определение и элементарные свойства ... 56
§ 9. Предельный переход под знаком интеграла ................. 66
§ 10. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.......... 76
§ 11. Заряды ....................................................... 81
§ 12. Теорема Радона — Никодима ................................ 87
§ 13. Произведение мер. Теорема Фубини ......................... 96
Глава III. Метрические пространства....................... 104
§ 14. Метрические пространства. Определения и примеры ...... 104
§ 15. Топология метрических пространств ....................... 111
§ 16. Полные метрические пространства ......................... 118
§ 17. Пополнение метрических пространств ...................... 124
§ 18. Теоремы о продолжении ....................................129
§ 19. Пространство L1(Т, μ) ....................................133
§ 20. Пространство Lp(T, μ) ....................................140
§ 21. Принцип сжимающих отображений ........................ 146
§ 22. Интегральные уравнения. Применение принципа сжимающих отображений.....150
§ 23. Компактные метрические пространства .................... 160
§ 24. Свойства компактных пространств ......................... 165
Глава IV. Нормированные векторные пространства ..... 173
§ 25. Нормированные пространства .............................. 173
§ 26. Банаховы пространства..................................... 179
§ 27. Линейные операторы в нормированных пространствах...........187
§ 28. Критерий конечномерности нормированного пространства. Эквивалентные нормы....200
§ 29. Гильбертовы пространства ................................. 205
§ 30. Ортогональность. Теорема о проекции .......................210
§ 31. Разложение по ортонормированным системам...................215
§ 32. Полные ортонормированные системы в конкретных пространствах......221
Глава V. Линейные операторы .....................................226
§ 33. Пространства линейных ограниченных операторов .............226
§ 34. Сильная сходимость последовательности операторов. Теорема Банаха — Штейнгауза......231
§ 35. Обратные операторы.........................................234
§ 36. Теорема о замкнутом графике ...............................243
§ 37. Приложения к интегральным уравнениям ......................249
§ 38. Преобразование Фурье функций из пространства L1(R) ........257
§ 39. Преобразование Фурье в пространстве L2 (R) ................264
Глава VI. Сопряженные пространства и сопряженные операторы.........268
§ 40. Линейные ограниченные функционалы ..........................268
§ 41. Теорема Хана — Банаха.......................................273
§ 42. Общий вид линейных ограниченных функционалов в конкретных пространствах...282
§ 43. Сопряженные операторы ......................................291
§ 44. Примеры сопряженных операторов .............................294
§ 45. Спектр оператора..................................299
§ 46. Слабая сходимость. Рефлексивность ..........................304
Глава VII. Уравнения с компактными операторами............310
§ 47. Компактные операторы и их свойства..........................310
§ 48. Компактность интегральных операторов .......................315
§ 49. Теория Рисса — Шаудера уравнений с компактными операторами. Фредгольмовы операторы........320
§ 50. Интегральные уравнения Фредгольма ............................................327
§ 51. Сопряженные и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве...........334
§ 52. Спектральное разложение компактного самосопряженного оператора ...............340
Глава VIII. Обобщенные функции ....................................................351
§ 53. Топологические векторные пространства ......................................352
§ 54. Пространства основных и обобщенных функций ......................357
§ 55. Действия с обобщенными функциями ............................................363
§ 56. Пространство обобщенных функций медленного роста.
Преобразование Фурье ..........................................................371
Глава IX. Локально выпуклые векторные пространства ............................375
§ 57. Полунормы и локально выпуклые топологии................................375
§ 58. Линейные непрерывные операторы и функционалы. Ограниченные множества.....381
§ 59. Сопряженное пространство и связанные с ним топологии..................388
§ 60. Полнота. Индуктивные пределы ..........................................393
§ 61. Локально выпуклые пространства функционального анализа.................397
Приложение. Топологические пространства ..........................401
§ 1. Открытые множества. Окрестности ........................................401
§ 2. Непрерывные отображения ................................................406
§ 3. Подпространства. Фактор-пространства ...................................408
§ 4. Произведение топологических пространств..................................409
§ 5. Сходящиеся направленности...............................................410
§ 6. Отделимые пространства .................................................413
§ 7. Компактные пространства.................................................414
Литература ...................................419
Предметный указатель ..................................................423