Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики (2-е изд.). - М., 1969.
Несмотря на наличие богатой литературы по математической физике, студенты и аспиранты высших технических учебных заведений, так же как и инженеры, работающие в промышленности, которым необходимы первоначальные сведения по уравнениям математической физики, испытывают серьезные затруднения в подборе руководства по этой важной отрасли прикладной математики. Это объясняется тем, что почти все книги, существующие в этой области, либо опираются на слишком большой объем математических знаний, либо написаны столь сжато и развивают математический аппарат столь далеко, что оказываются недоступными для указанного выше круга возможных читателей настоящей книги.
Авторы исходили из того, что читатель знаком только с обычным курсом высшей математики, изучаемым в наших втузах. Мы учитывали также, что читатель может интересоваться не обязательно всеми задачами математической физики, рассмотренными в книге, а только теми, которые имеют непосредственное отношение к его специальности (одних, например, могут интересовать только вопросы колебаний, других — задачи теплопроводности). В соответствии с этим книга построена так, что отдельные ее главы могут изучаться сравнительно независимо друг от друга. В частности, важнейший метод решения многих задач математической физики — метод Фурье — изложен с одинаковой степенью подробности как в первой, так и во второй главе.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............. 7
Введение ................... 9
1. Дифференциальные уравнения с частными производными .....................9
2. Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их решений ... 14
3. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах........... ......20
ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
§ 1. Уравнение колебаний струны............24
4. Вывод уравнения колебаний струны...........24
5. Постановка начальных и краевых условий 30
§ 2. Колебании бесконечной и полубескоиечной струны. Метод Даламбера .......... .........33
6. Бесконечная струна Формула Даламбера . , ......33
7. Распространение волн отклонения ......................37
8. Распространение волн импульса 49
9. Полубесконечная струна.................51
§ 3. Метод Фурье...........................55
10. Метод Фурье ....
11. Стоячие волны ............... 62
12 Примеры..........................64
§ 4. Вынужденные колебания и колебания струны в среде с сопротивлением ..... 72
13. Вынужденные колебания струны....................72
14. Колебания струны в среде с сопротивлением 77
§ 5. Продольные колебания стержня............ 80
15. Постановка задачи и метод решения..........80
16. Примеры..........................87
§ 6. Крутильные колебания вала.....................91
17. Уравнения крутильных колебаний . . . . ........91
18. Крутильные колебания вала с диском на одном конце 94
§ 7. Электрические колебания в длинных однородных линиях ..........................99
19. Телеграфное уравнение ................... 99
20. Линия без потерь...................................10З
21. Линия без искажения................ .
22. Линии конечной длины .............107
§ 8. Уравнение колебаний мембраны ......114
23. Вывод уравнения колебания мембраны 114
24. Начальные и краевые условия...... ........119
§ 9. Колебания прямоугольной мембраны..........120
25. Собственные функции .................120
26. Стоячие волны прямоугольной мембраны .............. 123
27. Вторая часть метода Фурье Двойные ряды Фурье............ 126
28. Стоячие волны с одинаковой частотой ........ 128
§ 10. Уравнение и функции Бесселя . . ..........130
29. Уравнение Бесселя ....................130
30. Условие ортогональности функций Бесселя нулевого порядка ................134
31. Функции Бесселя первого порядка ......136
§ 11. Колебания круглой мембраны . ............139
32. Круглая мембрана.................... 139
33. Стоячие волны круглой мембраны............143
ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ
§ 12. Уравнение линейной теплопроводности.....145
34. Вывод >равнения линейной теплопроводности.......145
85. Начальное и краевые условия..............148
36. Теплопроводность в стержне при наличии теплообмена через боковую поверхность.... 151
§ 13. Теплопроводность в бесконечном стержне..........153
37. Метод Фурье для бесконечного стержня........153
38. Преобразование решения уравнения теплопроводности 159
39. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический смысл...........162
40. Примеры .........................168
§ 14. Теплопроводность в конечном стержне........173
41. Приведение к задаче с однородными краевыми условиями. Метод Фурье .................173
42. Распространение тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или теплоизоляции концов 177
43. Общий случай краевых условий ...... .........183
44. Примеры . .........................186
§ 15. Теплопроводность в полубесконечном стержне ................ 198
45. Распространение тепла при теплоизоляции или постоянстве температуры конца стержня .....196
46. Примеры..........................200
§ 16. Некоторые пространственные задачи теплопроводности........................... 202
47. Вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае............. 202
48. Начальное и краевые условия ............ . 207
49. Распространение тепла в однородном цилиндре . . . 210
50. Распространение тепла в однородном шаре.......214
§ 17. Задачи диффузии ....................216
51. Уравнение диффузии................... 216
52. Уравнения теплопроводности и диффузии с краевым условием, зависящим от времени ......219
63. Примеры ..........................223
