Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн.- М., 1972.
Книга посвящена современным способам построения коротковолновой асимптотики дифракционных задач: лучевому методу, методу параболического уравнения и методу эталонных задач. Рассматриваются разные приемы нахождения асимптотики собственных функций оператора Лапласа и функций Грина для уравнения Гельмгольца. В книге нашли отражение работы академиков В. А. Фока и М. А. Леонтовича, американского математика Дж. Б. Келлера, многих других отечественных и зарубежных ученых и, в частности, некоторые исследования авторов книги. Книга адресуется специалистам-теоретикам, работающим в области радиофизики, геофизики, квантовой механики, и математикам, интересующимся современными проблемами математической физики. Для чтения книги достаточно владеть математикой в объеме программы, обычной для физических факультетов университетов СССР. Книга является частью задуманного авторами двухтомного курса «Асимптотических методов в задачах дифракции коротких волн». В другой его части найдут свое отражение современные приемы нахождения коротковолновой асимптотики точных решений дифракционных задач.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................... 6
Введение ...................... 9
Глава 1. Лучевой метод..................20
§ 1. Исходные формулы лучевого метода в скалярном случае ... 20
§ 2. Уравнение эйконала, лучи, волновые фронты........21
§ 3. Лучевые координаты.................25
§ 4. Основные рекуррентные формулы лучевого метода......29
§ 5. Уравнение Максвелла.................31
§ 6. Пример нахождения коротковолновой асимптотики дифракционной задачи лучевым методом..............35
§ 7. Определение функции с помощью соображений локальности ....... 40
§ 8. Каустики......................41
Глава 2. Волновое поле вблизи каустики...........43
§ 1. Предварительные замечания..............43
§ 2. Эталонная задача..................44
§ 3. О выборе параметров α и β..............47
§ 4. Уравнения лучей и волновых фронтов в окрестности каустики ......49
§ 5. Аналитический характер эйконала τ(х, у, z) вблизи каустики ...............52
§ 6. Вывод рекуррентных соотношений............56
§ 7. Волновое поле в окрестности каустики в первом приближении . 59
§ 8. Построение An и Вn, n > 0..............62
§ 9. Определение функций χn...............64
§ 10. Аналитичность Аn и Вn................66
Глава 3. Вывод асимптотических формул для собственных чисел и функций лучевым методом............69
§ 1. Вводные замечания..................69
§ 2. Многоэкземплярное пространство ~.............70
§ 3. Однозначность собственной функции и условия квантования ........73
§ 4. Собственные значения и собственные функции круга.....79
§ 5. Собственные значения эллипса.............85
Глава 4. Лучевой метод «в малом»..............101
§ 1. Собственные функции типа шепчущей галереи.......102
§ 2. Собственные значения типа прыгающего мячика......110
§ 3. Собственные значения типа шепчущей галереи в случае переменной скорости....................120
§ 4. Собственные значения типа прыгающего мячика в случае переменной скорости................ 128
Глава 5. Метод параболического уравнения . . .......137
§ 1. Вводные замечания..................137
§ 2. Вывод параболического уравнения для собственных функций типа шепчущей галереи..................138
§ 3. Решение параболического уравнения (2.9). Асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи...........142
§ 4. Вывод основного параболического уравнения задачи в случае, когда S — луч....................145
§ 5. Решение параболического уравнения (4.8).........147
§ 6. О колебаниях типа волновой пленки...........151
Глава 6. Асимптотика собственных функций, сосредоточенных вблизи границы области.....................157
§ 1. Вводные замечания..................157
§ 2. Собственные функции круга в случае с = const.......158
§ 3. Построение решений уравнения Гельмгольца в пограничном слое 162
§ 4. Собственные функции типа шепчущей галереи...........174
§ 5. Собственные функции области, внешней по отношению к области Q 181
§ 6. Обоснование полученных асимптотических формул......187
Глава 7. О собственных функциях, сосредоточенных в окрестности экстремального луча области.......193
§ 1. Эталонная задача..................193
§ 2. Построение главных членов формальных рядов.......195
§ 3. Построение полиномов αm и βm, m >= 1..........203
§ 4. Основные результаты и некоторые следствия из них.....208
§ 5. Постановка краевой задачи и вывод уравнения для собственных значений.........................208
§ 6. Формулы для собственных значений и собственных функций в первом приближении.................214
§ 7. Схема построения полиномов αm(s,v) и βm(s,v), m >= 1 ....................222
§ 8. Собственные частоты открытого резонатора (неоднородное заполнение, высшие приближения)....225
Глава 8. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической.........228
§ 1. Постановка задачи и вывод параболического уравнения .... 228
§ 2. Уравнение Якоби для геодезической ...........235
§ 3. Нулевое приближение.................243
§ 4. Построение высших приближений............252
§ 5. Задача о собственных функциях трехмерной области.....257
Глава 9. Многозеркальные резонаторы.............265
§ 1. Многозеркальный резонатор и формулировка задачи.....265
§ 2. Условия устойчивости резонаторов по первому приближению . . 268
§ 3. Некоторые свойства решений канонической системы (2.16) на цикле lN......................277
§ 4. Лучевой метод в малом. Формула для собственных частот резонатора .......................278
§ 5. Постановка задачи для параболического уравнения..........286
§ 6. Интегрирование уравнения LV = 0...........290
§ 7. Собственные функции и собственные частоты многозеркального резонатора в первом приближении............292
§ 8. Построение высших приближений........... 296
Глава 10. Поле точечного источника, расположенного вблизи выпуклой кривой..................303
§ 1. Вводные замечания..................303
§ 2. Функция Грина для внешности окружности.........304
§ 3. Волны соскальзывания вблизи кривой с положительной кривизной и их продолжение на произвольные расстояния.....312
§ 4. Выражение функции Грина через волны соскальзывания . . .316
§ 5. Функция Грина задачи дифракции на цилиндре с переменным импедансом .....................322
Глава 11. Асимптотика функции Грина для поверхностного источника (внутренняя задача)........325
§ 1. Постановка задачи и физические предпосылки...... . 325
§ 2. Лучевая формула для многократно отраженных волн.....327
§ 3. Уточнение лучевой формулы..............334
§ 4. Волновое поле источника, расположенного на границе круга ........346
§ 5. Поле поверхностного источника вблизи изогнутой границы неоднородного тела...............362
Глава 12. Высокочастотная асимптотика волнового поля, рассеянного гладким выпуклым телом........378
§ 1. Эталонная задача..................378
§ 2. Построение приближенных каустических сумм.......386
§ 3. Представление падающей волны интегралом . . . .... 391
§ 4. Начальные данные для уравнений, определяющих п. к. суммы . 396
§ 5. Исследование интеграла I в освещенной области......399
§ 6. Преобразование интеграла I в зоне тени...... . . 402
§ 7. Асимптотика волнового поля в глубокой тени.......405
Дополнение 1. Уравнение и функции Эйри..........410
Дополнение 2. Неортогональные криволинейные координатные системы 425
Дополнение 3. О решении уравнения y"(s) +K(s)y(s) = y-3(s) . . 432
Дополнение 4. Вычисление функции GM(y) и таблицы для нее . . 435
Примечания . . .....................439
Литература........................447
Предметный указатель ...................454
