Бабич В. М., Капилевич М. Б., Михлин С. Г., Натансон Г. И.и др. Линейные уравнения математической физики/ Под ред. С. Г. МИХЛИНА. - М., 1964.
Настоящий выпуск серии СМБ посвящен линейным дифференциальным уравнениям математической физики. В этот выпуск включены как весьма конкретные сведения, относящиеся к важным частным задачам математической физики, так и сведения, касающиеся уравнений и задач более общего вида. Наряду с классическими исследованиями затронуты и многие работы последних лет.
В справочнике приведены важнейшие результаты по краевым задачам для уравнений и систем уравнений основных трех типов: гиперболического, эллиптического и параболического; рассмотрены также вырождающиеся уравнения и уравнения эллиптико-гиперболического типа. Особая глава посвящена задачам дифракции и распространения волн.
Справочник предназначен для математиков, механиков, физиков и инженеров, которым приходится в их практической и научной деятельности решать задачи математической физики или вообще использовать ее аппарат.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие................................. 14
Глава I. Общие сведения о линейных уравнениях в частных производных
§ 1. Основные понятия и определения................ 17
§ 2. Классификация и канонические формы уравнений второго
порядка с двумя независимыми переменными......... 21
§ 3. Классификация и канонические формы уравнений второго порядка с n независимыми переменными .. 28
§ 4. Задача Коши............................. 32
Глава II/ Гиперболические уравнения
§ 1. Понятие о гиперболическом уравнении второго порядка. Простейшие примеры гиперболических уравнений..... 38
§ 2. Гиперболическое уравнение с двумя независимыми переменными .................................41
§ 3. Метод Фурье в случае двух переменных........................48
§ 4. Волновое уравнение..........................55
§ 5. Метод Фурье для многих независимых переменных..........60
§ 6. Сведения о более общих гиперболических уравнениях второго порядка..........................65
§ 7. Системы линейных гиперболических уравнений..............70
Глава III. Уравнения Лапласа и Пуассона
§ 1. Общие сведения......................................................77
§ 2. Интегральные формулы..............................................85
§ 3. Основные свойства гармонических функций....................88
§ 4. Основные краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона ....................................92
§ 5. Решение краевых задач........................96
§ 6. Функция Грина (функция источника) . . . ...........108
§ 7. Сведения о более общих уравнениях эллиптического типа 112
§ 8. Потенциалы..............................114
Глава IV. Уравнение Гельмгольца
§ 1. Общие сведения...........................122
§ 2. Разделение переменных в двумерном уравнении.......125
§ 3. Разделение переменных в трехмерном уравнении......134
§ 4. Координаты, в которых переменные разделяются......141
§ 5. Решение краевых задач для неоднородного уравнения Гельмгольца..............146
Глава V. Краевые задачи для общих эллиптических уравнений и систем
§ 1. Эллиптические уравнения и системы..............148
§ 2. Методы теории потенциала....................152
§ 3. Обобщенные решения краевых задач..............166
§ 4. Уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных........170
§ 5. Уравнения высших порядков с малым параметром при старших производных...........178
Глава VI. Уравнения и системы уравнений параболического типа
§ 1. Некоторые задачи, приводящие к уравнениям параболического типа с двумя независимыми переменными.......187
§ 2. Общие свойства решений уравнений параболического типа 189
§ 3. Краевые задачи для конечного отрезка............189
§ 4. Решение уравнения теплопроводности на бесконечной прямой............................199
§ 5. Задачи без начальных условий..................203
§ 6. Понятие о параболической системе . . . ................204
§ 7. Фундаментальная матрица параболической системы.....205
§ 8. Задача Коши и смешанная задача для параболической системы ...................208
§ 9. Теория потенциала для одного параболического уравнения второго порядка..............211
§ 10. Свойства решений параболических систем..........214
Глава VII. Вырождающиеся гиперболические и эллиптические уравнения
§ 1. Задача Коши для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными и с начальными данными на линии параболичности........................216
§ 2. Задача Коши для гиперболических уравнений, вырождающихся на начальной плоскости..................223
§ 3. Смешанная задача для гиперболических уравнений, вырождающихся на начальной плоскости.............227
§ 4. Смешанная задача для гиперболических уравнений, вырождающихся на части боковой границы области.......234
§5. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области.....................239
§ 6. Применение функциональных методов исследования эллиптических уравнений, вырождающихся на части границы . . 248
Глава VIII. Уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа
§ 1. Важнейшие уравнения смешанного типа. . . .........258
§ 2. Постановка смешанных краевых задач для уравнения С. А. Чаплыгина.........................263
§ 3. Краевые задачи, исследованные для других уравнений смешанного типа.......................271
§ 4. Теоремы единственности и методы их доказательства . . . 276
§ 5. Теоремы существования для смешанных краевых задач 284
Глава IX. Математические задачи теории дифракции и распространения волн
§ 1. Основные уравнения.........................292
§ 2. Плоские волны............................. 296
§ 3. Точечные источники колебаний для уравнений теории упругости и уравнений Максвелла в случае неограниченного пространства. Задача Коши для уравнений теории упругости..............303
§ 4. Установившиеся колебания.....................306
§ 5. Точечные источники для полуплоскости и полупространства .......................312
§ 6. Дифракция от угла и полуплоскости..............316
§ 7. Задачи стационарной дифракции в случае цилиндрических и сферических границ раздела .......325
§ 8. Задачи нестационарной дифракции в случае цилиндрических и сферических границ раздела...............332
§ 9. Приближенные и асимптотические методы в задачах дифракции .................................336
§ 10. Литературные указания по другим задачам дифракции 341
Библиография................................343
Указатель обозначений..........................363
Алфавитный указатель...........................364
