Н. С. Бахвалов Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). - Главная редакция физико-математической литературы. – М., 1975. – 632 с.
В книге рассматриваются основные положения численных методов, относящиеся к приближению функции, интегрированию, задачам алгебры и оптимизации, решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется вопросам выбора методов и организации вычисления при решении большого числа однотипных задач.
Книга предназначена для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике, специализирующихся по прикладной и вычислительной математике, а также для лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ I. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Глава I. Погрешность результата численного решения задачи .... 15
§ 1. Источники и классификация погрешности ... .... 15
§ 2. Запись чисел в ЭВМ...............18
§ 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных 19
§ 4. О вычислительной погрешности.............21
§ 5. Погрешность функции . . ..............23
Глава II. Интерполяция и смежные вопросы..........30
§ 1. Постановка задачи приближения функций.........31
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.........35
§ 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа .....................37
§ 4. Разделенные разности и их свойства . ..........37
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями 39
§ 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами 42
§ 7. Уравнения в конечных разностях............47
§ 8. Многочлены Чебышева................56
§ 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы .......................59
§ 10. Конечные разности .................62
§ 11. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков 65
§ 12. Интерполяционные формулы Бесселя и Эверетта доставление таблиц ................. ..... 67
§ 13. О погрешности округления при интерполировании 75
§ 14. Применение аппарата интерполирования. Обратная интерполяция 77
§ 15. Ортогональные системы и их свойства..........78
§ 16. Ортогональные многочлены..............85
§ 17. Численное дифференцирование ......... . 88
§ 18. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования .....................92
Глава III. Численное интегрирование.............95
§ 1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса........95
§ 2. Оценка погрешности квадратурной формулы на классе функций 103
§ 3. Квадратурные формулы Гаусса........ - ... 107
§ 4. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул.................119
§ 5. Интегрирование сильно осциллирующих функций......125
§ 6 Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на равные части . 128
§ 7. О постановках задач оптимизации 134
§ 8 Оптимальные квадратуры на классах функций с одной производной . 139
§ 9 Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы . .147
§ 10 Примеры оптимизации распределения узлов . 153
§ 11 Главный член погрешности 159
§ 12 Формулы Эйлера и Грегори ...... 163
§ 13 Правило Рунге практической оценки погрешности 167
§ 14 Формулы Ромберга........... 174
§ 15 Эксперименты и их обсуждение .......178
§ 16 Вычисление интегралов в нерегулярном случае ....... 185
§ 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим выбором шага .........193
§ 18 Стандартные программы численного интегрирования 201
Глава IV. Приближение функций и смежные вопросы 210
§ 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве . 210
§ 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении . . 212
§ 3. Дискретное преобразование Фурье ......... 218
§ 4. Быстрое преобразование Фурье ........ ... 222
§ 5. Наилучшее равномерное приближение .....225
§ 6. Примеры наилучшего равномерного приближения ........228
§ 7. Итерационный метод построения многочлена наилучшего равномерного приближения ........ 235
§ 8 О форме записи многочлена . 242
§ 9 О способах вычисления элементарных функций 249
§ 10 О скорости приближения функций различных классов . 253 § 11 Интерполяция и приближение сплайнами . . 256 § 12 Энтропия и е-энтропия . ... 262
Глава V. Многомерные задачи ... . 270
§ 1. Метод неопределенных коэффициентов ... . . 271
§ 2. Метод наименьших квадратов . . ... 272
§ 3. Метод регуляризации . . . . . 274
§ 4. Пример регуляризации . . . . 275
§ 5. Сведение многомерных задач к одномерным . .... 281
§ 6. Оценка погрешности численного интегрирования по равномерной сетке . .... 289
§ 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования . . 292
§ 8. Об оптимизации оценки погрешности на более широких классах способов интегрирования . .....295
§ 9. Метод Монте-Карло . ............. 300
§ 10. Обсуждение правомерности использования недетерминированных методов решения задач . . ......305
§ 11. Ускорение сходимости метода Монте-Карло ... 307
§ 12. Квадратурные формулы повышенной точности со случайными узлами ..... . 311
§ 13. О выборе метода решения задачи . . . .... 316
ЧАСТЬ II. ЗАДАЧИ АЛГЕБРЫ И ОПТИМИЗАЦИИ
Глава VI. Численные методы алгебры ............323
§ 1 Методы последовательного исключения неизвестных .... 324
§ 2. Метод ортогонализации....... 333
§ 3. Метод простой итерации ................335
§ 4. Исследование реального итерационного процесса . . . 340
§ 5. Спектр семейства матриц . 343
§ 6. Дельта квадрат-процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости ....... 349
§ 7. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов ....... 352
§ 8. Метод Зейделя . . . . 363
§ 9. Метод наискорейшего градиентного спуска ........ 369
§ 10. Метод сопряженных градиентов . ...... 372
§ 11. Метод Монте-Карло решения систем линейных уравнений 378
§ 12. Итерационные методы с использованием спектрально эквивалентных операторов 385
§ 13. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц Регуляризация 388
§ 14. Проблема собственных значений 394
§ 15. Решение полной проблемы собственных значений для симметричной матрицы методом вращений 400
Глава VI. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации 405
§ 1. Метод простой итерации и смежные вопросы . 437
§ 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений 411
§ 3. Другие методы решения одного уравнения . . . 416
§ 4. Методы спуска .... 420
§ 5. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей размерности . .... 425
§ 6. Решение стационарных задач путем установления......429
§ 7. Что оптимизировать..................... 436
§ 8. Как оптимизировать ............. 440
ЧАСТЬ III. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
Глава VII. Численные методы решения задачи Коши ........ 447
§ 1 Разложение решения в ряд Тейлора ... . 448
§ 2. Методы Рунге — Кутта . . ... 450
§ 3. Методы с контролем погрешности на шаге . . . 459
§ 4. Оценка погрешности одношаговых методов . . 461
§ 5. Конечно-разностные методы ... . 466
§ 6. Метод неопределенных коэффициентов ... - . 471
§ 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах .... . 476
§ 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов . ...... 483
§ 9. Главный член погрешности 488
§ 10. Изучение свойств конечно-разностных методов на более точных моделях . . . .....493
§ 11. Интегрирование систем уравнений . .... 502
§ 12. Ряд общих вопросов ........512
§ 13. Формулы численного интегрирования уравнений второго порядка 519
§ 14 Оценка погрешности численного решения задачи Коши для уравнения второго порядка . ...... 523
§ 15. Двусторонние методы .... . ' . . . . 528
Глава IX. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений . 535
§ 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения второго порядка . . ... .... 535
§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи .... ... 542
§ 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи.......548
§ 4. Замыкания вычислительных алгоритмов.........557
§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка................... 565
§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка....................571
§ 7. Методы дифференциальной ортогональной прогонки .... 577
§ 8. Нелинейные краевые задачи ... ..........583
§ 9. Аппроксимации специального типа...........б33
§ 10. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений . 601
§ 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования.....606
§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы
записи конечно-разностного уравнения ... .... 612
§ 13. Оценка вычислительной погрешности при решении краевой задачи методом прогонки ... ..... .......618
Список литературы.....................622
Предметный указатель................... 628
Часть 1
Часть 2
