Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений: Пер. с англ. - М., 1969, 368 с.
Книга посвящена исследованию устойчивости и оптимизации численных процессов решения дифференциальных уравнений. В отличие от монографий подобного рода в ней подробно изучаются ошибки округления при выполнении расчетов на машинах с плавающей и фиксированной запятой. Авторы развили оригинальный подход к этой проблеме и получили ряд новых интересных результатов. Многочисленные примеры иллюстрируют особенности различных алгоритмов.
Книга рассчитана на широкий круг читателей. Она будет полезна математикам-вычислителям, программистам, инженерам, использующим ЭВМ, а также всем, кто имеет дело с численным решением дифференциальных уравнений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Введение....................................................9
§ 1.1. Оптимизация..............................................10
§ 1.2. Численная устойчивость..................................10
§ 1.3. Возможность и надежность................................11
Глава 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация вычислений 13
§ 2.1. Устойчивые и неустойчивые численные процессы ....... 13
§ 2.2. Устойчивость численных процессов........................20
§ 2.3. Приложения.............................25
2.3.1. Устойчивость процесса в примере 2.26..............25
§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости..............36
2.4.1. Вычисления с фиксированной и плавающей запятой 36
2.4.2. О максималистском и статистическом характере ошибок округления......................................38
2.4.3. Практическое значение понятия L-пocлeдoвaтельности..................... 39
2.4.4. Локальная и глобальная устойчивость. ....... 41
2.4.5. Итерационные процессы и численная устойчивость . . 46
§ 2.5. Асимптотические оценки и численная устойчивость .... 53
2.5.1. Асимптотическая оценка погрешности численного процесса ................. 53
2.5.2. Асимптотические оценки и численная устойчивость . . 55
§ 2.6. О некоторых проблемах оптимизации.......... . 57
2.6.1 Оптимальная аппроксимация функционалов в гильбертовом пространстве..................................57
2.6.2. Об оптимальной квадратурной формуле........57
Глава 3. Задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 63
§ 3.1. Введение..................................63
3.1.1. Вводные замечания..................................63
З.1.2. Оценки ошибок. ......................65
§ 3.2. Разностные методы................. ... 66
3.2.1. Общая разностная формула...................67
3.2.2. Сходимость разностных формул.......... .. . 68
3.2.3. Устойчивость разностных формул ............ 76
3.2.4. Некоторые наиболее употребительные разностные формулы............................................83
3.2.5. Пример..............................................85
3.2.6. Оптимальные разностные формулы..................86
§ 3.3. Общие одношаговые методы...............* 93
3.3.1. Сходимость и устойчивость общих одношаговых методов ......... 93
3.3.2. Формулы Рунге — Кутта третьей степени............98
3.3.3. Формулы Рунге —Кутта четвертой степени......100
§ 3.4. Системы дифференциальных уравнений. Уравнения высших
порядков.........................106
§ 3.5. Оценки погрешности...................113
3.5.1. Введение......................113
3.5.2. Оценки погрешности метода Рунге — Кутта.....114
3.5.3. Асимптотические ошибки..............118
Глава 4. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений ............................121
§ 4.1. Введение.........................121
§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши.........123
4.2.1. Метод комбинации решений.............123
4.2.2. Простая факторизация для уравнения второго порядка 125
4.2.3. Аддитивная факторизация..............129
4.2.4. Составная факторизация..............131
4.2.5. Численная устойчивость методов сведения краевых задач к задачам Коши...............134
4.2.6. Простая факторизация для уравнения четвертого порядка ........................136
4.2.7. Устойчивость системы уравнений, входящей в метод простой факторизации для уравнения четвертого по-рядка .................. 137
4.2.8. Факторизация системы уравнений..........152
§ 4.3. Метод конечных разностей................152
4.3.1. Введение ................. . 152
4.3.2. О некоторых интегральных тождествах, используемых при решении самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка...........153
4.3.3. Метод конечных разностей для самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка ..........157
4.3.4. Другой подход к построению конечно-разностных формул ........................164
4.3.5. Сходимость метода конечных разностей.......167
4.3.6. Примеры......................163
4.3.7. Метод конечных разностей решения самосопряженных краевых задач для дифференциальных уравнений более высокого порядка..................174
§ 4.4. Оптимизация разностных формул для уравнений второго порядка 183
4.4.1. Введение......................183
4.4.2. Об оптимальных конечно-разностных схемах . . . 185
4.4.3. Построение асимптотически оптимальной последовательности матриц..................187
4.4.4. Оптимальные схемы в пространстве U ..... 190
4.4.5. Некоторые основные положения теории преобразований Фурье.....................195
4.4.6. О проблеме оптимальных конечно-разностных схем для бесконечных интервалов............196
4.4.7. Об оптимальных схемах в пространстве W .... 202
§ 4.5. Решение систем уравнений, возникающих в методе конечных разностей ......................204
4.5.1. Метод исключения Гаусса для уравнений второго порядка ........................204
4.5.2. Метод окаймления для уравнений второго порядка 221
4.5.3. Разностная аддитивная факторизация........226
4.5.4. Метод исключения для дифференциальных уравнений четвертого порядка ................. 228
§ 4.6. Вариационные методы..................236
4.6.1. О проблемах оптимальной аппроксимации......236
4.6.2. Некоторые основные результаты о положительно определенных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений..............237
4.6.3. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве .....................240
4.6.4. О применении метода оптимальной аппроксимации к одной конкретной задаче в пространстве........ 242
4.6.5. О выборе оптимального базиса в пространстве.....................245
4.6.6. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве ......................249
4.6.7. О другом оптимальном свойстве метода оптимальной аппроксимации в пространстве .......250
4.6.8. О выборе оптимального базиса в пространстве .............. 251
4.6.9. Заключительные замечания.............255
§ 4.7. Устойчивость численных процессов решения краевых задач методом оптимальной аппроксимации...........255
4.7.1. Численная устойчивость методов § 4.6........255
4.7.2. О некоторых основных свойствах метода исключения Гаусса.......................2S0
4.7.3. Численно оптимальные системы координатных функций 235
Глава 5. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа..............271
§ 5.1. Введение.........................271
§ 5.2. Метод конечных разностей................274
5.2.1. Введение......................274
5.2.2. О конечно-разностном методе для самосопряженного уравнения второго порядка в случае квадратной сетки 274
5.2.3. О конечно-разностных методах для самосопряженного уравнения второго порядка в случае треугольной сетки 279
5.2.4. О простейшей формулировке краевых условий Дирихле для уравнения второго порядка...........281
5.2.5. Другие формулировки краевого условия Дирихле . . 284
5.2.6. О формулировке краевых условий общего вида . . . 290
5.2.7. О сходимости конечно-разностных методов......234
5.2.8. Конечно-разностные методы решения самосопряженных
краевых задач для уравнений более высокого порядка 296
§ 5.3. Решение конечио-разностиых уравнений, соответствующих
дифференциальным уравнениям второго порядка.....300
5.3.1. Введение ........................300
5.3.2. Метод исключения.................301
5.3.3. Итерационные методы.....-...........303
5.3.4. Итерационный метод Якоби.............307
5.3.5. Итерации Гаусса — Зейделя и верхняя релаксация. . 312
§ 5.4. Вариационные методы решения краевых задач......318
5.4.1. О проблеме оптимальной аппроксимации.......318
5.4.2. О решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом оптимальной аппроксимации . . 318
5.4.3. Метод Канторовича.................319
Глава 6. Дифференциальные уравнения с частными производными параболического типа......................321
§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач.....321
6.1.К Разностные уравнения ................321
6.1.2. Сходимость метода конечных разностей.......327
6.1.3. Некоторые вопросы численной устойчивости.....337
§ 6.2. Конечно-разностные методы для двумерных задач.....345
6.2.1. Построение, сходимость и численная устойчивость некоторых простых формул......... 345
6.2.2. Методы переменных направлений..........351
Библиография............................354
