Беpc Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. - М., 1966.
В основу книги положен курс лекций по теории уравнений с частными производными, прочитанный на семинаре по прикладной математике, который был организован Американским математическим обществом.
Книга освещает современное состояние теории; наряду с известными, ставшими уже классическими результатами и методами, в ней излагаются достижения последних лет, знакомство с которыми необходимо каждому, кто имеет дело с уравнениями математической физики.
Книга рассчитана на математиков, научных работников других специальностей (механиков, физиков, радиотехников и т. д), а также инженеров.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода .................5
Предисловие......................8
Введение .......................9
Часть I. Гиперболические и параболические уравнения, Ф. Джон
Глава 1. Уравнения гиперболического и параболического типов . . 13
Глава 2. Волновой оператор................16
§ 2.1. Одномерное волновое уравнение..........16
§ 2.2. Задача с начальными условиями для волнового уравнения в трехмерном пространстве............22
§ 2.3. Анализ решения................24
§ 2.4. Метод спуска..... ...........27
§ 2.5. Неоднородное волновое уравнение.........28
§ 2 6. Задача Коши с начальными данными на произвольной поверхности ...................30
§ 2.7. Интегралы энергии и априорные оценки.......35
§ 2.8. Общее линейное уравнение с волновым оператором в главной части...................43
§ 2.9. Смешанные задачи...............47
Глава 3. Задача Коши, характеристические поверхности и распространение разрывов...................49
§ 3.1. Обозначения..................49
§ 3.2. Соотношения между частными производными на поверхности ....................51
§ 3.3. Свободные поверхности. Характеристическая матрица . . 53
§ 3.4. Задача Коши. Теорема единственности Хольмгрена ... 56
§ 3.5. Распространение разрывов............63
Глава 4. Линейные гиперболические дифференциальные уравнения . 72
§ 4.1. Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами методом преобразования Фурье........74
§ 4.2. Гиперболические системы однородных уравнений с постоянными коэффициентами.............79
§ 4.3. Метод разложения на плоские волны........80
§ 4.4. Априорные оценки...............84
§ 4.5. Общее линейное строго гиперболическое уравнение с постоянными коэффициентами в главной части.....87
§ 4.6. Системы первого порядка с постоянными коэффициентами в главной части.................91
§ 4.7. Симметрические гиперболические системы с переменными коэффициентами ................96
Глава 5. Параболические уравнения. Уравнение теплопроводности 104
§ 5.1. Общие параболические уравнения..........104
§ 5.2. Уравнение теплопроводности. Принцип максимума . . . 105
§ 5.3. Решение задачи Коши..............108
§ 5.4. Гладкость решений...............110
§ 5.5. Задача с начальными и граничными условиями в прямоугольнике ...................114
Глава 6. Приближенное решение дифференциальных уравнений с частными производными методом конечных разностей . .118
§ 6.1. Решение параболических уравнений.........119
§ 6.2. Устойчивость разностных схем для других типов уравнений 125 Библиография....................132
Часть II. Эллиптические уравнения, Л. Бере и М. Шехтер
Глава 1. Эллиптические уравнения и их решения........141
§ 1.1. Введение ...................141
§ 1.2. Линейные эллиптические уравнения.........142
§ 1.3. Гладкость решений ...............143
§ 1.4. Единственность продолжения ...........147
§ 1.5. Граничные условия ...............149
Приложение I. Эллиптичность и сильная эллиптичность .... 151
Приложение II. Совпадение сильной и слабой производных ..... 152
Глава 2. Принцип максимума................158
§ 2.1. Уравнения второго порядка............158
§ 2.2. Формулировка и доказательство принципа максимума ....159
§ 2.3. Приложения к задаче Дирихле...........161
§ 2.4. Приложение к обобщенной задаче Неймана......162
§ 2 5. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей ...... 163
§ 2.6. Решение разностного уравнения методом последовательных приближений.........166
§ 2.7. Принцип максимума для градиента.........168
§ 2.8. Теорема Карлемана о единственности продолжения . . . 170
Глава 3. Функциональные методы. Периодические решения .... 172
§ 3.1. Периодические решения .............172
§ 3.2. Гильбертовы пространства Ht...........173
§ 3.3. Структура пространств Ht............175
§ 3.4. Основные неравенства..............178
§ 3.5. Теорема о дифференцируемости..........182
§ 3.6. Решение уравнения Lu=f.............183
Приложение I. Теорема о проекции...........186
Приложение II. Теория Фредгольма — Рисса — Шаудера ... 191
Глава 4. Функциональные методы. Задача Дирихле.......198
§ 4.1. Введение ...................198
§ 4.2. Регулярность внутри области...........198
§ 4.3. Пространства Ht и Н0..............200
§ 4.4. Некоторые леммы относительно Н0.........201
§ 4.5. Обобщенная задача Дирихле ..........204
§ 4.6. Существование слабых решений..........206
§ 4.7. Регулярность в точках границы...........208
§ 4.8. Неравенства для полукуба............210
Приложение. Аналитичность решений...........215
Глава 5. Методы теории потенциала.............220
§ 5.1. Фундаментальные решения. Параметрикс......220
§ 5.2. Некоторые функциональные пространства......225
§ 5.3. Основные неравенства..............229
§ 5.4. Локальная теорема существования.........237
§ 5.5. Внутренние оценки шаудеровского типа.......240
§ 5.6. Оценки вплоть до границы............244
§ 5.7. Применения к задаче Дирихле..........246
§ 5 8. Гладкость сильных решений............249
Приложение I. Доказательства основных неравенств.....251
Приложение II. Доказательства лемм об интерполяции .... 259
Глава 6. Методы теории функций комплексного переменного . . . 263
§ 6 1. Переход к комплексным переменным........264
§ 6.2. Уравнение Бельтрами.............266
§ 6.3. Теорема о представлении.............268
§ 6.4. Следствия из теоремы о представлении.......270
§ 6.5. Две краевые задачи...............272
Приложение. Свойства уравнения Бельтрами. Теорема Привалова 276
Глава 7. Квазилинейные уравнения.............291
§ 7.1. Краевые задачи................291
§ 7.2. Методы решения................292
§ 7.3. Примеры ...................295
Библиография ...................300
Дополнение I. Разложения по собственным функциям, Л. Гординг 309
Дополнение II. Параболические уравнения, А. Н. Мильграм . . 333
Предметный указатель...................345
